CF1236F Alice and the Cactus

Alice and the Cactus

给⼀个仙⼈掌，每个点有 \(\frac{1}{2}\) 的概率被删除。问连通块个数的⽅差。

\(n \leq 5\times 10^5\)。

题解

在仙人掌这种图上，显然连通块个数=点数-(边数-环数)。

\(E(V-E+C)\) 很好算。考虑如何计算 \(E((V-E+C)^2)\)。

暴力拆开来，\(E((V-E+C)^2)=E(V^2)+E(E^2)+E(C^2)+2(E(VC)-E(VE)-E(EC))\)。

对每一项分类讨论计算即可。

https://blog.csdn.net/emmmmmmmmm/article/details/102905344

说一下时间复杂度里面的 \(O(\sum u在几个环中)\)。我们可以先把每个点看成都在一个环中，那么 \(>1\) 的部分就可以看成环之间的连边。所以时间复杂度还是 \(O(n)\)。

CO int N=5e5+10;
int n,m,pw[N];
vector<int> to[N];
int vis[N],stk[N],pos[N],idx;
vector<vector<int> > cyc;
vector<int> in[N];

void dfs(int u,int fa){
	vis[u]=1,stk[++idx]=u,pos[u]=idx;
	for(int v:to[u])if(v!=fa and vis[v]!=2){
		if(!vis[v]) dfs(v,u);
		else cyc.emplace_back(stk+pos[v],stk+idx+1);
	}
	vis[u]=2,--idx;
}

int ver(){
	int ans=mul(n,pw[1]); // coincide
	ans=add(ans,mul(n,mul(n-1,pw[2]))); // disjoint
	return ans;
}
int edge(){
	int ans=mul(m,pw[2]); // coincide
	for(int u=1;u<=n;++u)
		for(int v:to[u])if(u<v){
			int s1=m-to[u].size()-to[v].size()+1;
			int s2=to[u].size()+to[v].size()-2;
			ans=add(ans,mul(s1,pw[4])); // disjoint
			ans=add(ans,mul(s2,pw[3])); // intersect
		}
	return ans;
}
int cycle(){
	int sum=0;
	for(CO vector<int>&cir:cyc) sum=add(sum,pw[cir.size()]);
	int ans=0;
	for(CO vector<int>&cir:cyc){
		int siz=cir.size(),val=sum;
		ans=add(ans,pw[siz]); // coincide
		for(int u:cir){
			for(int c:in[u]) val=sub(val,pw[c]);
			val=add(val,pw[siz]); // subtract itself mistakenly, add back it
		}
		val=sub(val,pw[siz]);
		ans=add(ans,mul(pw[siz],val)); // disjoint
		int ano=sub(sum,add(val,pw[siz]));
		ans=add(ans,mul(ano,mul(2,pw[siz]))); // intersect
	}
	return ans;
}
int veredge(){
	int ans=0;
	for(int u=1;u<=n;++u){
		int s1=to[u].size();
		int s2=m-to[u].size();
		ans=add(ans,mul(s1,pw[2])); // intersect
		ans=add(ans,mul(s2,pw[3])); // disjoint
	}
	return ans;
}
int vercycle(){
	int sum=0;
	for(CO vector<int>&cir:cyc) sum=add(sum,pw[cir.size()]);
	int ans=0;
	for(int u=1;u<=n;++u){
		int s=0;
		for(int c:in[u]) s=add(s,pw[c]);
		ans=add(ans,s); // coincide
		ans=add(ans,mul(sub(sum,s),pw[1])); // disjoint
	}
	return ans;
}
int edgecycle(){
	int ans=0;
	for(CO vector<int>&cir:cyc){
		int siz=cir.size(),s=0;
		ans=add(ans,mul(siz,pw[siz])); // coincide
		for(int u:cir) s+=to[u].size()-2;
		ans=add(ans,mul(s,pw[siz+1])); // intersect
		ans=add(ans,mul(m-siz-s,pw[siz+2])); // disjoint
	}
	return ans;
}
int calc1(){
	int s1=add(ver(),add(edge(),cycle()));
	int s2=sub(vercycle(),add(veredge(),edgecycle()));
	return add(s1,mul(2,s2));
}

int calc2(){
	int ans=sub(mul(n,pw[1]),mul(m,pw[2]));
	for(CO vector<int>&cir:cyc) ans=add(ans,pw[cir.size()]);
	return mul(ans,ans);
}

int main(){
	read(n),read(m);
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) pw[i]=mul(pw[i-1],5e8+4);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u=read<int>(),v=read<int>();
		to[u].push_back(v),to[v].push_back(u);
	}
	dfs(1,0);
	for(CO vector<int>&cir:cyc)
		for(int u:cir) in[u].push_back(cir.size());
	printf("%d\n",sub(calc1(),calc2()));
	return 0;
}

跟别人学习了一波仙人掌的处理方式。