THUWC2017 在美妙的数学王国中畅游

在美妙的数学王国中畅游

数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 \([0,1]\) 的实数表示。数学王国中有 \(n\) 个城市，编号从 \(0\) 到 \(n-1\) ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 \([0,1]\) 区间内的分数。一道题可以用一个从 \([0,1]\) 映射到 \([0,1]\) 的函数 \(f(x)\) 表示。若一个人的智商为 \(x\) ，则他做完这道数学题之后会得到 \(f(x)\) 分。函数 \(f\) 有三种形式：

• 正弦函数 \(\sin(a x + b)\ (a \in [0,1], b \in [0,\pi],a+b\in[0,\pi])\)

• 指数函数 \(e^{ax+b}\ (a\in [-1,1], b\in [-2,0], a+b\in [-2,0])\)

• 一次函数 \(ax + b\ (a\in [-1,1],b\in[0,1],a+b\in [0,1])\)

数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。

数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 \(x\) 的人从城市 \(u\) 旅行到城市 \(v\) （即经过 \(u\) 到 \(v\) 这条路径上的所有城市，包括 \(u\) 和 \(v\) ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。

【小R教你学数学】

若函数 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数在 \([a,b]\) 区间内连续，则对 \(f(x)\) 在 \(x_0(x_0\in[a,b])\) 处使用 \(n\) 次拉格朗日中值定理可以得到带拉格朗日余项的泰勒展开式

\[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)(x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+ \cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{f^{(n)}(\xi)(x-x_0)^n}{n!},x\in[a,b] \]

其中，当 \(x>x_0\) 时，\(\xi\in[x_0,x]\)。当 \(x<x_0\) 时，\(\xi\in[x,x_0]\)。

\(f^{(n)}\)表示函数 \(f\) 的 \(n\) 阶导数

【数据范围】

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n \leq 100000, 1\leq m \leq 200000\) 。

题解

题面里面提示得很清楚了，直接泰勒展开就行了。开始我没看到……

这题就是考你LCT板子和高中求导公式。

\[\sin'(x)=\cos(x)\\ \cos'(x)=-\sin(x) \]

展开式做到16项左右完全没问题。时间复杂度 \(O(16 m \log n)\)。

CO int N=100000+10;
LL fac[16];
int f[N];LD a[N],b[N];
int ch[N][2],fa[N],rev[N];
LD sum[N][16];

IN bool nroot(int x){
	return ch[fa[x]][0]==x or ch[fa[x]][1]==x;
}
IN void push_up(int x){
	for(int i=0;i<16;++i)
		sum[x][i]=sum[ch[x][0]][i]+sum[ch[x][1]][i];
	if(f[x]==1){ // sin
		LD val=1,sine=sin(b[x]),cosine=cos(b[x]);
		for(int i=0;i<16;i+=4){
			sum[x][i]+=val*sine,val*=a[x];
			sum[x][i+1]+=val*cosine,val*=a[x];
			sum[x][i+2]-=val*sine,val*=a[x];
			sum[x][i+3]-=val*cosine,val*=a[x];
		}
	}
	else if(f[x]==2){ // exp
		LD val=exp(b[x]);
		for(int i=0;i<16;++i)
			sum[x][i]+=val,val*=a[x];
	}
	else sum[x][0]+=b[x],sum[x][1]+=a[x];
}
IN void reverse(int x){
	swap(ch[x][0],ch[x][1]),rev[x]^=1;
}
IN void push_down(int x){
	if(rev[x]){
		reverse(ch[x][0]),reverse(ch[x][1]);
		rev[x]=0;
	}
}
IN void rotate(int x){
	int y=fa[x],z=fa[y],l=x==ch[y][1],r=l^1;
	if(nroot(y)) ch[z][y==ch[z][1]]=x;fa[x]=z;
	ch[y][l]=ch[x][r],fa[ch[x][r]]=y;
	ch[x][r]=y,fa[y]=x;
	push_up(y);
}
void splay(int x){
	vector<int> stk(1,x);
	for(int f=x;nroot(f);) stk.push_back(f=fa[f]);
	for(;stk.size();stk.pop_back()) push_down(stk.back());
	for(;nroot(x);rotate(x)){
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(nroot(y)) rotate((x==ch[y][1])!=(y==ch[z][1])?x:y);
	}
	push_up(x);
}
void access(int x){
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),ch[x][1]=y,push_up(x);
}
void make_root(int x){
	access(x),splay(x),reverse(x);
}
int find_root(int x){
	access(x),splay(x);
	while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
	return x;
}

int main(){
//	freopen("LOJ2289.in","r",stdin),freopen("LOJ2289.out","w",stdout);
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<16;++i) fac[i]=fac[i-1]*i;
	int n=read<int>(),m=read<int>();
	char type[3];scanf("%s",type);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		read(f[i]),scanf("%Lf%Lf",a+i,b+i);
		push_up(i);
	}
	while(m--){
		char opt[10];scanf("%s",opt);
		if(opt[0]=='a'){
			int u=read<int>()+1,v=read<int>()+1;
			make_root(u),fa[u]=v;
		}
		else if(opt[0]=='d'){
			int u=read<int>()+1,v=read<int>()+1;
			make_root(u),access(u);
			splay(v),fa[v]=0; // edit 1:splay
		}
		else if(opt[0]=='m'){
			int u=read<int>()+1;
			read(f[u]),scanf("%Lf%Lf",a+u,b+u);
			splay(u);
		}
		else{
			int u=read<int>()+1,v=read<int>()+1;
			LD x;scanf("%Lf",&x);
			make_root(u);
			if(find_root(v)!=u){
				puts("unreachable");
				continue;
			}
			LD val=1,ans=0;
			for(int i=0;i<16;++i)
				ans+=sum[v][i]*val/fac[i],val*=x;
			printf("%.10Le\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}