NOIP2018 填数游戏

填数游戏

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 $n\times m$ 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字 $0$ 或者数字 $1$），填数时需要满足一些限制。下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述，我们先给出一些定义：

• 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即 $(x,y)$，其中，$x$ 为行坐标，$y$ 为列坐标。（注意：行列坐标均从 $0$ 开始编号）；

• 合法路径 $P$：一条路径是合法的当且仅当：

  1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子 $(0,0)$ 出发，到矩形的右下角格子 $(n-1,m-1)$ 结束；

  2. 在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是 $P_1:(0,0)\to (0,1)\to (1,1), \ P_2:(0,0)\to (1,0)\to (1,1)$。

对于一条合法的路径 $P$，我们可以用一个字符串 $w(P)$ 来表示，该字符串的长度为 $n+m-2$，其中只包含字符 R 或者字符 D，第 $i$ 个字符记录了路径 $P$ 中第 $i$ 步的移动方法，R 表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，D 表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径 $P_1$，有 $w(P_1)=\texttt{RD}$；而对于另一条路径 $P_2$，有 $w(P_2)=\texttt{DR}$。

同时，将每条合法路径 $P$ 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为 $n+m-1$ 的 $01$ 字符串，记为 $s(P)$。例如，如果我们在格子 $(0,0)$ 和 $(1,0)$ 上填入数字 $0$，在格子 $(0,1)$ 和 $(1,1)$ 上填入数字 $1$（见上图红色数字）。那么对于路径 $P_1$，我们可以得到 $s(P_1)=\texttt{011}$，对于路径 $P_2$，有 $s(P_2)=\texttt{001}$。

游戏要求小 D 找到一种填数字 $0,1$ 的方法，使得对于两条路径 $P_1,P_2$，如果 $w(P_1)\gt w(P_2)$，那么必须 $s(P_1)\le s(P_2)$。我们说字符串 $a$ 比字符串 $b$ 小，当且仅当字符串 $a$ 的字典序小于字符串 $b$ 的字典序，字典序的定义详见第 1 题。但是仅仅是找 $1$ 种方法无法满足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满组游戏的要求？

小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 $0,1$ 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

题解

耳濡目染地做了这道题：DFS打表，发现等比数列。

性质：

1. 对于每一个斜行，其 $0/1$ 状态一定是存在一个分界点，使得其左下方都是 $1$，其右上方都是 $0$。

2. $ans(n,m)=ans(m,n)$，反转一下 $0/1$ 就能发现。

3. 如果某一个格子它左边上边的两个格子的 $0/1$ 是相同的，或者它左边或上边有格子是模糊点，那这个格子就是模糊点；模糊点右边下边的两个格子的 $0/1$ 必须相同。

满足这几条性质的矩阵一定是合法的，所以就可以打表了。$n=m=8$ 的数据都能在 1s 中跑出来。

n\m	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	4	8	16	32	64	128	256
2	4	12	36	108	324	972	2916	8748
3	8	36	112	336	1008	3024	9072	27216
4	16	108	336	912	2688	8064	2419	272576
5	32	324	1008	2688	7136	21312	63936	191808
6	64	972	3024	8064	21312	56768	170112	510336	1531008
7	128	2916	9072	24192	63936	170112	453504	1360128	4080384
8	256	8748	27216	272576	191808	510336	1360128	3626752	10879488

发现当 $m≥n+1$ 时答案是等比数列，所以打个表即可。

打表程序：

int n,m;
struct crd {int x,y;}; // coordinate
vector<crd> col[100]; // column
int wei[100][100],vis[100][100];
int ans;
 
IN void dye(CO crd&p,int w){
	wei[p.x][p.y]=w;
}
IN void visit(CO crd&p){
	vis[p.x][p.y+1]=1;
}
void dfs(int x){
	if(x==n+m){
//		puts("matrix=");
//		for(int i=1;i<=n;++i)
//			for(int j=1;j<=m;++j) printf("%d%c",wei[i][j]," \n"[j==m]);
//		puts("vis=");
//		for(int i=1;i<=n;++i)
//			for(int j=1;j<=m;++j) printf("%d%c",vis[i][j]," \n"[j==m]);
		++ans;
		return;
	}
	for(int i=0;i<(int)col[x].size();++i){
		CO crd&p=col[x][i];
		if(p.x>1 and vis[p.x-1][p.y]) vis[p.x][p.y]=1;
		if(p.y>1 and vis[p.x][p.y-1]) vis[p.x][p.y]=1;
	}
	for(int i=0;i<=(int)col[x].size();++i){
		if(i>0 and i<(int)col[x].size()){
			CO crd&p=col[x][i];
			if(vis[p.x][p.y-1]) continue;
		}
		if(x<n+m-1){
			for(int i=0;i<(int)col[x+1].size();++i){
				CO crd&p=col[x+1][i];
				vis[p.x][p.y]=0;
			}
		}
		for(int j=0;j+1<=i;++j) dye(col[x][j],1);
		for(int j=0;j+1<=i-1;++j) visit(col[x][j]);
		for(int j=i;j<(int)col[x].size();++j) dye(col[x][j],0);
		for(int j=i;j<(int)col[x].size()-1;++j) visit(col[x][j]);
		dfs(x+1);
	}
}
int main(){
//	freopen("game.out","w",stdout);
	read(n),read(m);
	if(n>m) swap(n,m);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		col[i].push_back((crd){i,1});
		while(col[i].back().x>1)
			col[i].push_back((crd){col[i].back().x-1,col[i].back().y+1});
	}
	for(int i=n+1;i<=m-1;++i){
		col[i].push_back((crd){n,i-n+1});
		while(col[i].back().x>1)
			col[i].push_back((crd){col[i].back().x-1,col[i].back().y+1});
	}
	for(int i=max(n+1,m);i<=n+m-1;++i){
		col[i].push_back((crd){n,i-n+1});
		while(col[i].back().y<m)
			col[i].push_back((crd){col[i].back().x-1,col[i].back().y+1});
	}
	dfs(1);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

AC程序：

int main(){
	freopen("game.in","r",stdin),freopen("game.out","w",stdout);
	int n=read<int>(),m=read<int>();
	if(n>m) swap(n,m);
	switch(n){
		case 1:{
			printf("%d\n",fpow(2,m));
			break;
		}
		case 2:{
			if(m==2) puts("12");
			else printf("%d\n",mul(36,fpow(3,m-3)));
			break;
		}
		case 3:{
			if(m==3) puts("112");
			else printf("%d\n",mul(336,fpow(3,m-4)));
			break;
		}
		case 4:{
			if(m==4) puts("912");
			else printf("%d\n",mul(2688,fpow(3,m-5)));
			break;
		}
		case 5:{
			if(m==5) puts("7136");
			else printf("%d\n",mul(21312,fpow(3,m-6)));
			break;
		}
		case 6:{
			if(m==6) puts("56768");
			else printf("%d\n",mul(170112,fpow(3,m-7)));
			break;
		}
		case 7:{
			if(m==7) puts("453504");
			else printf("%d\n",mul(1360128,fpow(3,m-8)));
			break;
		}
		case 8:{
			if(m==8) puts("3626752");
			else printf("%d\n",mul(10879488,fpow(3,m-9)));
			break;
		}
	}
	return 0;
}