CTSC2016 时空旅行

时空旅行

题面有点长，放链接了。
LOJ 题面。

题解

显然 y,z 没有用。那么要求就是最小化 (x₀-x_i)²+c_i。

一看到二次函数形式就应该想到维护凸包。考虑这个问题的凸包要怎么维护，显然可持久化动态凸包是可行的。

由于每个节点的操作对子树生效，而子树的 DFS 序是连续的，所以可以对 DFS 序做线段树分治。区间修改操作可以在 DFS 的同时解决，主要就是递归和回溯之前的操作，具体见代码。

然后由于修改互相独立，所以可以先对线段树节点建出凸包。询问先在外层排序后再放进线段树里查询，这样就不用写二分了。

时间复杂度 O(n log² n)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
    T x=0,w=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
    return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;

struct Vector {LL x,y;};
il bool operator<(co Vector&a,co Vector&b){
	return a.x!=b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;
}
il Vector operator-(co Vector&a,co Vector&b){
	return (Vector){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
il LL cross(co Vector&a,co Vector&b){
	return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
il LL calc(co Vector&a,int x){
	return (LL)x*x-a.x*x+a.y;
}

co int N=500000+10;
int n,m;
LL X[N],C[N];
int id[N],to[N],next[N];
int pos[N],dfn,last[N];

vector<Vector> tree[N<<2];
int pl[N<<2]; // edit 3: N<<2
#define lc (x<<1)
#define rc (x<<1|1)
void insert(int x,int l,int r,int ql,int qr,co Vector&v){
//	if(x==1) cerr<<"ins "<<ql<<" "<<qr<<" "<<v.x<<" "<<v.y<<endl;
	if(ql<=l and r<=qr)
		return tree[x].push_back(v);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid) insert(lc,l,mid,ql,qr,v);
	if(qr>mid) insert(rc,mid+1,r,ql,qr,v);
}
void dfs(int x){
	pos[x]=++dfn;
	if(id[x]>0) last[id[x]]=dfn;
	else{
		int p=-id[x];
		if(last[p]<=dfn-1)
			insert(1,1,n,last[p],dfn-1,(Vector){2*X[p],X[p]*X[p]+C[p]});
		last[p]=0;
	}
	for(int y=to[x];y;y=next[y]) dfs(y);
	if(id[x]<0) last[-id[x]]=dfn+1;
	else{
		int p=id[x];
		if(last[p]<=dfn)
			insert(1,1,n,last[p],dfn,(Vector){2*X[p],X[p]*X[p]+C[p]});
		last[p]=0;
	}
}
void build(int x,int l,int r){
	sort(tree[x].begin(),tree[x].end());
	static Vector st[N];
	int top=0;
	for(int i=0;i<(int)tree[x].size();++i){
		while(top>=2 and cross(tree[x][i]-st[top-1],st[top]-st[top-1])>=0) --top;
		st[++top]=tree[x][i];
	}
	tree[x].assign(st+1,st+top+1);
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
}

struct ask {int s,x,id;}q[N];
il bool operator<(co ask&a,co ask&b){
	return a.x<b.x;
}
LL ans[N];

void query(int x,int l,int r,co ask&q){
//	if(x==1) cerr<<"qry "<<q.s<<" "<<q.x<<" "<<q.id<<endl;
	if(tree[x].size()){
		while(pl[x]<(int)tree[x].size()-1 and calc(tree[x][pl[x]+1],q.x)<=calc(tree[x][pl[x]],q.x)) ++pl[x]; // edit 1:<=
		ans[q.id]=min(ans[q.id],calc(tree[x][pl[x]],q.x));
	}
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(q.s<=mid) query(lc,l,mid,q);
	else query(rc,mid+1,r,q);
}

int main(){
	freopen("travel.in","r",stdin),freopen("travel.out","w",stdout); // travel
	read(n),read(m),read(C[1]);
	id[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		int opt=read<int>(),fa=read<int>()+1;
		next[i]=to[fa],to[fa]=i,id[i]=read<int>()+1;
		if(!opt) read(X[id[i]]),read<int>(),read<int>(),read(C[id[i]]); // edit 2:id
		else id[i]=-id[i];
	}
	dfs(1),build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int s=read<int>()+1,x=read<int>();
		q[i]=(ask){pos[s],x,i};
	}
	sort(q+1,q+m+1);
	for(int i=1;i<=m;++i) ans[q[i].id]=1e18,query(1,1,n,q[i]);
	for(int i=1;i<=m;++i) printf("%lld\n",ans[i]);
	return 0;
}