Codechef Palindromeness 和 SHOI2011 双倍回文

Palindromeness

Let us define the palindromeness of a string in the following way:

• If the string is not a palindrome, its' palindromeness is zero.
• The palindromeness of an one-letter string is 1.
• The palindromness of a string S of the length greater than one is 1 + "palindromeness of the string that is formed by the first [|S|/2] symbols of S".

You are given a string S. Find the sum of the palindromenesses of all the non empty substrings of S (i.e. S[i..j], where i <= j). In other words, you have to calculate the sum of palindromenesses of N * (N + 1) / 2 substrings of S, where N is the length of S.

• 1 ≤ |S| ≤ 10⁵。

题解

翁文涛《回文树及其应用》。

\(len_i=1\) 时特殊处理 \(half_i=even\)。

CO int N=100000+10;

namespace PAM{
	int str[N],n;
	int last,tot;
	int ch[N][26],fa[N],len[N];
	int half[N],val[N],siz[N];
	
	void init(){
		memset(str,-1,sizeof str),n=0;
		last=tot=1;
		memset(ch,0,sizeof ch);
		fa[0]=fa[1]=1,len[0]=0,len[1]=-1;
		memset(siz,0,sizeof siz);
	}
	int get_fail(int x){
		while(str[n-len[x]-1]!=str[n]) x=fa[x];
		return x;
	}
	void extend(int c){
		int p=get_fail(last);
		if(!ch[p][c]){
			int cur=++tot;
			len[cur]=len[p]+2;
			fa[cur]=ch[get_fail(fa[p])][c];
			ch[p][c]=cur;
			if(len[cur]==1) half[cur]=0;
			else{
				int q=half[p];
				while(str[n-len[q]-1]!=str[n] or
					  2*(len[q]+2)>len[cur]) q=fa[q];
				half[cur]=ch[q][c];
			}
			val[cur]=1+(len[cur]/2==len[half[cur]]?val[half[cur]]:0);
		}
		last=ch[p][c];
		++siz[last];
	}
	LL main(){
		for(int i=tot;i>=2;--i) siz[fa[i]]+=siz[i];
		LL ans=0;
		for(int i=tot;i>=2;--i) ans+=(LL)siz[i]*val[i];
		return ans;
	}
}

char str[N];

void real_main(){
	scanf("%s",str+1);
	int n=strlen(str+1);
	PAM::init();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		PAM::str[++PAM::n]=str[i]-'a';
		PAM::extend(str[i]-'a');
	}
	printf("%lld\n",PAM::main());
}
int main(){
	for(int T=read<int>();T--;) real_main();
	return 0;
}

双倍回文

如果 s 能够写成 ww^Rww^R 的形式，则称 s 是双倍回文。

s 的长度是 4 的倍数，前后两半都是相同的回文。

对于给定的字符串，计算它的最长双倍回文串的长度。

N<=500000

yyb的题解

发现这个长度为自身一半的的回文串是可以方便地转移的。

对于每个节点，我们维护一个half来表示长度最长的、不超过它长度一半的那个祖先节点

这样子只需要判断一下当前点的half长度是否是一半，并且当前串的长度是四的倍数就好了

找 half 就用 p 的 half 来跳就行了。

co int N=500000+10;
char s[N];
int last=1,tot=1;
int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},half[N];

int get_fa(int x,int i){
	while(s[i-len[x]-1]!=s[i]) x=fa[x];
	return x;
}
void extend(int i){
	int p=get_fa(last,i);
	int x=ch[p][s[i]-'a'];
	if(!x){
		x=++tot;
		fa[x]=ch[get_fa(fa[p],i)][s[i]-'a'];
		len[x]=len[p]+2;
		ch[p][s[i]-'a']=x;
		if(len[x]==1) half[x]=0;
		else{
			int q=half[p];
			while(s[i-len[q]-1]!=s[i]||(len[q]+2)<<1>len[x]) q=fa[q];
			half[x]=ch[q][s[i]-'a'];
		}
	}
	last=x;
}
int main(){
	int n=read<int>();
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i) extend(i);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=tot;++i)
		if(len[half[i]]<<1==len[i]&&len[i]%4==0)
			ans=max(ans,len[i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}