[POI2012]RAN-Rendezvous
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<center><h1>2791: [Poi2012]Rendezvous </h1><span class="green">Time Limit: </span>25 Sec <span class="green">Memory Limit: </span>128 MB<br><span class="green">Submit: </span>259 <span class="green">Solved: </span>160<br>[<a href="submitpage.php?id=2791">Submit</a>][<a href="problemstatus.php?id=2791">Status</a>][<a href="bbs.php?id=2791">Discuss</a>]</center><h2>Description</h2><div class="content"><p><span style="font-size: medium"><br>
给定一个n个顶点的有向图，每个顶点有且仅有一条出边。<br>
对于顶点i，记它的出边为(i, a[i])。<br>
再给出q组询问，每组询问由两个顶点a、b组成，要求输出满足下面条件的x、y：<br>
1. 从顶点a沿着出边走x步和从顶点b沿着出边走y步后到达的顶点相同。<br>
2. 在满足条件1的情况下max(x,y)最小。<br>
3. 在满足条件1和2的情况下min(x,y)最小。<br>
4. 在满足条件1、2和3的情况下x>=y。<br>
如果不存在满足条件1的x、y，输出-1 -1。</span></p>
<p></p></div><h2>Input</h2><div class="content"><p><span style="font-size: medium">第一行两个正整数n和q (n,q<=500,000)。<br>
第二行n个正整数a[1],a[2],...,a[n] (a[i]<=n)。<br>
下面q行，每行两个正整数a,b (a,b<=n)，表示一组询问。</span></p>
<p></p></div><h2>Output</h2><div class="content"><p><span style="font-size: medium">输出q行，每行两个整数。</span></p>
<p></p></div><h2>Sample Input</h2>
<div class="content"><span class="sampledata">12 5<br>
4 3 5 5 1 1 12 12 9 9 7 1<br>
7 2<br>
8 11<br>
1 2<br>
9 10<br>
10 5<br>
<br>
</span></div><h2>Sample Output</h2>
<div class="content"><span class="sampledata">2 3<br>
1 2<br>
2 2<br>
0 1<br>
-1 -1<br>
<br>
</span></div><h2>HINT</h2>
<div class="content"><p></p></div><h2>Source</h2>
<div class="content"><p><a href="problemset.php?search=鸣谢Oimaster">鸣谢Oimaster</a></p></div><center>[<a href="submitpage.php?id=2791">Submit</a>][<a href="problemstatus.php?id=2791">Status</a>][<a href="bbs.php?id=2791">Discuss</a>]</center><br>
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题解
我是很久没有好好写一篇题解了。
首先分析题意，是要沿着出边跳到相同的节点，说明要求的是lca。
然后说一下基环树的套路：
- 树上倍增可以照常写，注意使用的条件就行了。
- 一遍拓扑排序把环找出来，这时候连通且未标记的肯定都在同一个环内。
- 以环上任意节点为起点开始做一个环标号，环长度前缀和，还有环总长。具体可以直接用出边跳。
- 把不在环上的点的出边反向用来建树，以环为根处理深度，环根标号。
这样询问时的处理套路：
- 不在同一连通块内，即环根标号对应节点的环标号不同，那么lca不存在。
- 在同一棵树内，即环根标号相同，直接树上lca解决。
- 这题我们主要解决的情况——在同一连通块内，但是不在同一棵树内，即环根标号对应节点的环标号相同，但环根标号不同。
x,y肯定要调到环上，然后分为两种情况，x,y分别跳。用预处理的3解决。
这样询问时间复杂度可以做到\(O(1)\)，不过这题我的简便写法是\(O(\log n)\)的。总时间复杂度\(((n+m)\log n)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
#define rg register
template<class T>T read(){
rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-') w=-w;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) data=data*10+ch-'0';
return data*w;
}
template<class T>T read(T&x){
return x=read<T>();
}
typedef long long ll;
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
#define x first
#define y second
co int N=5e5+1;
int n,m,t,f[N][20],deg[N];
int pos[N],cnt,len[N],s[N];
int d[N],id[N];
vector<int> e[N];
queue<int> q;
int lca(int x,int y){
if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
for(int i=19;i>=0;--i)
if(d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];
if(x==y) return x;
for(int i=19;i>=0;--i)
if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}
pii cmp(co pii&a,co pii&b){
if(max(a.x,a.y)<max(b.x,b.y)) return a;
if(max(a.x,a.y)>max(b.x,b.y)) return b;
if(min(a.x,a.y)<min(b.x,b.y)) return a;
if(min(a.x,a.y)>min(b.x,b.y)) return b;
return a.x>=a.y?a:b;
}
int main(){
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;++i) ++deg[read(f[i][0])];
// prework
t=log(n)/log(2);
for(int i=1;i<=t;++i)
for(int x=1;x<=n;++x) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
// topsort
for(int i=1;i<=n;++i)if(!deg[i]) q.push(i);
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
if(!--deg[f[x][0]]) q.push(f[x][0]);
}
// circle
for(int i=1;i<=n;++i)if(deg[i]&&!pos[i]){
++cnt;
for(int j=i;!pos[j];j=f[j][0])
pos[j]=cnt,s[j]=++len[cnt];
}
// bfs
for(int i=1;i<=n;++i){
if(pos[i]) id[i]=i,q.push(i);
else e[f[i][0]].push_back(i);
}
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
for(unsigned i=0;i<e[x].size();++i){
int y=e[x][i];
d[y]=d[x]+1,id[y]=id[x];
q.push(y);
}
}
while(m--){
int x=read<int>(),y=read<int>();
if(pos[id[x]]!=pos[id[y]]) puts("-1 -1");
else if(id[x]==id[y]){
int p=lca(x,y);
printf("%d %d\n",d[x]-d[p],d[y]-d[p]);
}
else{
pii a,b;
int sx=s[id[x]],sy=s[id[y]],now=len[pos[id[x]]];
a.x=d[x]+(sy-sx+now)%now,a.y=d[y];
b.x=d[x],b.y=d[y]+(sx-sy+now)%now;
pii ans=cmp(a,b);
printf("%d %d\n",ans.x,ans.y);
}
}
return 0;
}
静渊以有谋，疏通而知事。
