[SDOI2016]排列计数

题意

题目描述

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 $10^9+7$ 取模。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

输出格式：

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

输出样例#1： 复制

0
1
20
578028887
60695423

说明

测试点 1 ~ 3： $T = 1000$，$n \leq 8$，$m \leq 8$；

测试点 4 ~ 6： $T = 1000$，$n \leq 12$，$m \leq 12$；

测试点 7 ~ 9： $T = 1000$，$n \leq 100$，$m \leq 100$；

测试点 10 ~ 12：$T = 1000$，$n \leq 1000$，$m \leq 1000$；

测试点 13 ~ 14：$T = 500000$，$n \leq 1000$，$m \leq 1000$；

测试点 15 ~ 20：$T = 500000$，$n \leq 1000000$，$m \leq 1000000$。

分析

选出哪些元素固定，剩下的就是错排问题。

错排数递推公式：

\[D_0=1,D_1=0 \\ D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) \quad n\ge 2 \]

答案为

\[\binom nm D_{n-m} \]

时间复杂度\(O(n+T)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;

co int N=1e6+1,mod=1e9+7;
int num[N]={1,1},inv[N]={1,1},f[N]={1,0};
il int mul(int x,int y){return (ll)x*y%mod;}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
	for(int i=2;i<N;++i){
		num[i]=mul(num[i-1],i);
		inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
		f[i]=mul(i-1,f[i-1]+f[i-2]);
	}
	for(int i=2;i<N;++i) inv[i]=mul(inv[i-1],inv[i]);
	for(int t=read<int>(),n,m;t--;){
		read(n),read(m);
		printf("%d\n",mul(num[n],mul(inv[n-m],mul(inv[m],f[n-m]))));
	}
	return 0;
}