Gym100365H Peaks 和 CH3401 石头游戏
Peaks
求n个排列中有恰好k个峰的方案数,模239
n<=1015,k<=30
题解
\(f(i,j)\) 表示填了 \(1~ i\) 有 \(j\) 个峰的方案数。
那么 \(2j\cdot f(i,j) \rightarrow f(i+1,j)\),\((i+1-2j)\cdot f(i,j) \rightarrow f(i+1,j+1)\)。
于是转移可以写成矩阵形式。考虑系数 \(i+1-2j\) 怎么处理。发现由于模数很小,所以可以利用矩阵的周期性。
k和模数的大小提示找规律,事实上当 \(k\leq 30\) 时,\(f(n,k)=f(n+56882,k)~(\bmod 239)\)
CO int mod=239;
int f[56882][31];
int main(){
int n=read<LL>()%56882,k=read<int>();
f[1][1]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=k;++j)if(f[i][j]){
f[i+1][j]=(f[i+1][j]+2*j*f[i][j])%mod;
f[i+1][j+1]=(f[i+1][j+1]+(i+1-2*j)*f[i][j])%mod;
}
printf("%d\n",f[n][k]);
return 0;
}
3401 石头游戏 0x30「数学知识」例题
描述
- 数字0~9:表示拿0~9个石头到该格子。
- NWSE:表示把这个格子内所有的石头推到相邻的格子,N表示上方,W表示左方,S表示下方,E表示右方。
- D:表示拿走这个格子的所有石头。
输入格式
第一行4个整数n, m, t, act。
接下来n行,每行m个字符,表示每个格子对应的操作序列。
最后act行,每行一个字符串,表示从0开始的每个操作序列。
输出格式
一个整数:游戏进行了t秒之后,所有方格中最多的格子有多少个石头。
样例输入
1 6 10 3 011112 1E E 0
样例输出
3
样例解释
这是另一个类似于传送带的结构。左边的设备0间隔地产生石头并向东传送。设备1向右传送,直到设备2。10秒后,总共产生了5个石头,2个在传送带上,3个在最右边。
分析
由于\(\le 6\)的正整数的公倍数是60,所以每60秒操作序列一定会循环。那么考虑矩阵转移,预处理每秒转移矩阵和60秒的转移矩阵乘积,对\(\lfloor \frac{t}{60} \rfloor\)做60秒的,\(t \bmod 60\)做单秒的。为了新增石头,增加一个节点来提供。
时间复杂度\(O(60^3(\log \lfloor \frac{t}{60} \rfloor+t \bmod 60))\)
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
rg T data=0,w=1;
rg char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-') w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x){
return x=read<T>();
}
typedef long long ll;
ll f[70],d[70][70],e[70][70][70];
char b[20][20],s[100];
int n,m,t,act,p,a[20][20],c[20][20];
int num(int i,int j){
return (i-1)*m+j;
}
void mulself(ll a[70][70],ll b[70][70]){
static ll w[70][70];
memset(w,0,sizeof w);
for(int i=1;i<=p;++i)
for(int k=1;k<=p;++k) if(a[i][k])
for(int j=1;j<=p;++j)
w[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
memcpy(a,w,sizeof w);
}
void mul(ll a[70],ll b[70][70]){
static ll w[70];
memset(w,0,sizeof w);
for(int i=1;i<=p;++i)
for(int j=1;j<=p;++j)
w[i]+=a[j]*b[j][i];
memcpy(a,w,sizeof w);
}
int main(){
// freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
read(n),read(m),read(t),read(act);
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",s+1);
for(int j=1;j<=m;++j) a[i][j]=s[j]-'0'+1;
}
for(int i=1;i<=act;++i) scanf("%s",b[i]);
p=n*m+1;
for(int k=1;k<=60;++k){
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j){
int x=a[i][j],y=c[i][j];
if(isdigit(b[x][y])){
e[k][p][num(i,j)]=b[x][y]-'0';
e[k][num(i,j)][num(i,j)]=1;
}
else if(b[x][y]=='N'&&i>1) e[k][num(i,j)][num(i-1,j)]=1;
else if(b[x][y]=='W'&&j>1) e[k][num(i,j)][num(i,j-1)]=1;
else if(b[x][y]=='S'&&i<n) e[k][num(i,j)][num(i+1,j)]=1;
else if(b[x][y]=='E'&&j<m) e[k][num(i,j)][num(i,j+1)]=1;
c[i][j]=(y+1)%strlen(b[x]);
}
e[k][p][p]=1;
}
memcpy(d,e[1],sizeof e[1]);
for(int k=2;k<=60;++k) mulself(d,e[k]);
f[p]=1;
for(int w=t/60;w;w>>=1){
if(w&1) mul(f,d);
mulself(d,d);
}
for(int w=t%60,i=1;i<=w;++i) mul(f,e[i]);
ll ans=0;
for(int i=1;i<p;++i) ans=std::max(ans,f[i]);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}