NOI2014 魔法森林

魔法森林

Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在1号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17

【输入样例2】
3 1
1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】
32

【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。

【输出样例2】
-1

【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。

HINT

2<=n<=50,000
0<=m<=100,000
1<=ai ,bi<=50,000

题解

这是一个双边权最小瓶颈生成树问题。

逐步拓宽a的限制，并维护b的最小生成树即可。如果1和n连通则更新答案。

LCT维护，时间复杂度\(O(m \log n)\)。

代码实现

将边按a排序，一条条加入，若当前的x,y未联通则直接加入这条边，

否则看当前边的b是否小于x,y,路径上最大的b,小于则拆掉该边，加入当前边。

显然可以用lct维护，splay维护b的最大值

把边拆成点权为b的点，点则是点权为0

Cut时找到改点，splay到根，切掉左右儿子

Link时加入新点，把x,y newroot，虚父亲指向新点

co int N=2e5+1;
int n,m;
struct edge{
	int x,y,a,b;
	bool operator<(co edge&e)co{
		return a^e.a?a<e.a:b<e.b;
	}
}e[N];

int tot,ch[N][2],p[N],v[N],bb[N],flip[N];
#define lc ch[x][0]
#define rc ch[x][1]
void update(int x){v[x]=std::max(bb[x],std::max(v[lc],v[rc]));}
bool nroot(int x){return ch[p[x]][0]==x||ch[p[x]][1]==x;}
void down(int x){
	if(!flip[x]) return;
	std::swap(lc,rc);
	flip[lc]^=1,flip[rc]^=1;
	flip[x]=0;
}
void rotate(int x){
	int y=p[x],z=p[y],l=x==ch[y][1],r=l^1;
	if(nroot(y)) ch[z][y==ch[z][1]]=x;p[x]=z;
	ch[y][l]=ch[x][r],p[ch[x][r]]=y;
	ch[x][r]=y,p[y]=x;
	update(y),update(x);
}
void splay(int x){
	static int st[N],y,z;
	y=x,z=0,st[++z]=y;
	while(nroot(y)) st[++z]=y=p[y];
	while(z) down(st[z--]);
	for(;nroot(x);rotate(x)){
		y=p[x],z=p[y];
		if(nroot(y)) x==ch[y][1]^y==ch[z][1]?rotate(x):rotate(y);
	}
}
void access(int x){
	for(int t=0;x;x=p[t=x])
		splay(x),rc=t,update(x);
}
int findroot(int x){
	access(x),splay(x);
	while(lc) x=lc;
	return x;
}
void newroot(int x){
	access(x),splay(x),flip[x]^=1;
}
int qry(int x,int y){
	newroot(x),access(y),splay(y);
	return v[y];
}
void lik(int x,int y,int w){
	int z=++tot;
	bb[z]=v[z]=w;
	newroot(x),p[x]=z;
	newroot(y),p[y]=z;
}
int find(int x,int y){
	if(bb[x]==y) return x;
	return find(v[lc]==y?lc:rc,y);
}
void cut(int x){
	splay(x),p[lc]=0,p[rc]=0;
}
int main(){
	tot=read(n),read(m);
	for(int i=1,x,y,a,b;i<=m;++i){
		read(x),read(y),read(a),read(b);
		if(x!=y) e[i]=(edge){x,y,a,b};
		else --i,--m;
	}
	int ans=1e5+1;
	std::sort(e+1,e+m+1);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u=e[i].x,v=e[i].y,a=e[i].a,b=e[i].b;
		if(findroot(u)!=findroot(v)) lik(u,v,b);
		else{
			int tp=qry(u,v);
			if(b<tp){
				int tpp=find(v,tp);
				cut(tpp);
				lik(u,v,b);
			}
		}
		if(findroot(1)==findroot(n)){
			int tp=qry(1,n);
			ans=std::min(ans,a+tp);
		}
	}
	printf("%d\n",ans==1e5+1?-1:ans);
	return 0;
}