LG4848 崂山白花蛇草水

崂山白花蛇草水

神犇 Aleph 在 SDOI Round2 前立了一个 flag：如果进了省队，就现场直播喝崂山白花蛇草水。凭借着神犇 Aleph 的实力，他轻松地进了山东省省队，现在便是他履行诺言的时候了。蒟蒻 Bob 特地为他准备了 999,999,999,999,999,999 瓶崂山白花蛇草水，想要灌神犇 Aleph。神犇 Aleph 求（跪着的）蒟蒻 Bob 不要灌他，由于神犇 Aleph 是神犇，蒟蒻 Bob 最终答应了他的请求，但蒟蒻 Bob 决定将计就计，也让神犇 Aleph 回答一些问题。

具体说来，蒟蒻 Bob 会在一个宽敞的广场上放置一些崂山白花蛇草水（可视为二维平面上的一些整点），然后询问神犇 Aleph 在矩形区域\(x_1\le x\le x_2,y_1\le y\le y_2\)中，崂山白花蛇草水瓶数第 \(k\) 多的是多少。为了避免麻烦，蒟蒻 Bob 不会在同一个位置放置两次或两次以上的崂山白花蛇草水，但蒟蒻 Bob 想为难一下神犇Aleph，希望他能在每次询问时立刻回 答出答案。

神犇 Aleph 不屑于做这种问题，所以把这个问题交给了你。

对于所有数据，\(n\le500000，q\le100000，1\le x, y\le n，1\le v\le 10^9，1\le x_1\le x_2\le n1，1\le y_1\le y_2\le n，1\le k\le q\)。

Claris的题解

外层维护权值线段树，内层维护kd-tree。

修改的时候只往右儿子里插入（因为只会查询右儿子的矩形内点的个数），不平衡的时候替罪羊式重构。

查询的时候在外层线段树上走，在内层kd-tree上查询矩形内点数即可。

\(Q(n)=\sqrt{n}+Q(n/2)=O(\sqrt{n})\)
\(C(n)=\log^2 n + C(n/2)=O(\log^3 n)\)
时间复杂度\(O(q\log v (\log^2 q+\sqrt{q}))\)。

代码

终于找到我梦寐以求的好的替罪羊树的写法了，记录插入进去的那条链，先判深度，可能不平衡再重构一次。

插入和重构分开进行便可去掉冗余操作。

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
	rg T data=0,w=1;
	rg char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-') w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
		data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
	return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x){
	return x=read<T>();
}
typedef long long ll;
using namespace std;

co double A=0.8;
co int N=1e5+1,M=16e5;
int n,ans,cmp_d,op,X1,Y1,X2,Y2,k;
int tmp[N],deep,need[N],cnt,cur;
int T[M],l[M],r[M],tot=1;
struct node{int d[2],l,r,Max[2],Min[2],size;}t[M];
bool cmp(int a,int b){return t[a].d[cmp_d]<t[b].d[cmp_d];}
void umax(int&a,int b){if(a<b)a=b;}
void umin(int&a,int b){if(a>b)a=b;}
void up(int x){
	t[x].size=1+t[t[x].l].size+t[t[x].r].size;
	if(t[x].l){
		umax(t[x].Max[0],t[t[x].l].Max[0]),umax(t[x].Max[1],t[t[x].l].Max[1]);
		umin(t[x].Min[0],t[t[x].l].Min[0]),umin(t[x].Min[1],t[t[x].l].Min[1]);
	}
	if(t[x].r){
		umax(t[x].Max[0],t[t[x].r].Max[0]),umax(t[x].Max[1],t[t[x].r].Max[1]);
		umin(t[x].Min[0],t[t[x].r].Min[0]),umin(t[x].Min[1],t[t[x].r].Min[1]);
	}
}
int build(int l,int r,int D){
	int mid=(l+r)>>1;
	cmp_d=D;
	nth_element(need+l,need+mid,need+r+1,cmp);
	int x=need[mid];
	t[x].Max[0]=t[x].Min[0]=t[x].d[0];
	t[x].Max[1]=t[x].Min[1]=t[x].d[1];
	t[x].l=l<mid?build(l,mid-1,D^1):0;
	t[x].r=mid<r?build(mid+1,r,D^1):0;
	up(x);
	return x;
}
void dfs(int x){if(x) need[++cnt]=x,dfs(t[x].l),dfs(t[x].r);}
void ins(int&root,int now){
	if(!root) {root=now;return;}
	for(int D=deep=0,x=root;;D^=1){
		tmp[++deep]=x;
		umax(t[x].Max[0],t[now].Max[0]),umax(t[x].Max[1],t[now].Max[1]);
		umin(t[x].Min[0],t[now].Min[0]),umin(t[x].Min[1],t[now].Min[1]);
		++t[x].size;
		if(t[now].d[D]>=t[x].d[D]){
			if(!t[x].r) {t[x].r=now;break;}
			else x=t[x].r;
		}
		else{
			if(!t[x].l) {t[x].l=now;break;}
			else x=t[x].l;
		}
	}
	tmp[++deep]=now;
	if(deep<log(t[root].size)/log(1/A)) return;
	while(t[t[now].l].size<A*t[now].size&&t[t[now].r].size<A*t[now].size) now=tmp[--deep];
	if(!now) return;
	if(now==root){
		cnt=0,dfs(root);
		root=build(1,cnt,0);
		return;
	}
	int y=tmp[--deep];
	cnt=0,dfs(now);
	int k=build(1,cnt,deep&1);
	if(t[y].l==now) t[y].l=k;
	else t[y].r=k;
}
void ask(int x){
	if(!x||t[x].Max[0]<X1||t[x].Min[0]>X2||t[x].Max[1]<Y1||t[x].Min[1]>Y2||ans>=k) return;
	if(t[x].Min[0]>=X1&&t[x].Max[0]<=X2&&t[x].Min[1]>=Y1&&t[x].Max[1]<=Y2) {ans+=t[x].size;return;}
	if(t[x].d[0]>=X1&&t[x].d[0]<=X2&&t[x].d[1]>=Y1&&t[x].d[1]<=Y2) ++ans;
	ask(t[x].l),ask(t[x].r);
}
void add(){
	int x=1,a=1,b=1e9,mid,flag=1;
	while(1){
		if(flag){
			++cur;
			t[cur].Max[0]=t[cur].Min[0]=t[cur].d[0]=X1;
			t[cur].Max[1]=t[cur].Min[1]=t[cur].d[1]=Y1;
			t[cur].size=1;
			ins(T[x],cur);
		}
		if(a==b) return;
		mid=(a+b)>>1;
		if(k<=mid){
			if(!l[x]) l[x]=++tot;
			x=l[x],b=mid,flag=0;
		}
		else{
			if(!r[x]) r[x]=++tot;
			x=r[x],a=mid+1,flag=1;
		}
	}
}
void query(){
	ans=0,ask(T[1]);
	if(ans<k){
		puts("NAIVE!ORZzyz.");
		ans=0;
		return;
	}
	int x=1,a=1,b=1e9,mid;
	while(a<b){
		mid=(a+b)>>1;
		ans=0,ask(T[r[x]]);
		if(ans>=k) x=r[x],a=mid+1;
		else k-=ans,x=l[x],b=mid;
	}
	printf("%d\n",ans=a);
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(n);
	while(n--){
		read(op),read(X1),read(Y1);X1^=ans,Y1^=ans;
		if(op==1){
			read(k);k^=ans;
			add();
		}
		else{
			read(X2),read(Y2),read(k);X2^=ans,Y2^=ans,k^=ans;
			query();
		}
	}
	return 0;
}