BZOJ4260,LOJ10051 Nikitosh 和异或

题意

给定一个含 \(N\) 个元素的数组 \(A\)，下标从 \(1\) 开始。请找出下面式子的最大值：\((A[l_1]\bigoplus A[l_1+1]\bigoplus …\bigoplus A[r_1])+ (A[l_2]\bigoplus A[l_2+1]^…\bigoplus A[r_2])\)，其中 \(1\le l_1\le r_1<l_2\le r_2\le N，x\bigoplus y\)表示 \(x\) 和 \(y\) 的按位异或。

对于 \(100\%\) 的数据，\(2\le N \le 4\times 10^5, 0\le A_i\le 10^9\)。

分析

参照qwerta的题解。

首先记录异或前缀和s[i]=a[1]⊕a[2]⊕a[3]...⊕a[i]。

设l[i]为以i结尾的区间中，异或值的最大值。

因为异或有 x⊕x=0 的性质，所以区间 [l,r] 的异或值
=a[l]⊕a[l+1]⊕...⊕a[r]
=(a[1]⊕a[2]⊕a[3]...⊕a[l−1])⊕(a[1]⊕a[2]⊕a[3]...⊕a[r])
=s[l−1]⊕s[r]，

所以求l[i]，转化为找j<i，使得s[j]⊕s[i]最大。

转化为「LOJ#10050」「一本通 2.3 例 2」The XOR Largest Pair（Trie

以相似的方法可以求出r[i]（以i开头的区间中，异或值的最大值）。

时间复杂度：O(N \log_2 A)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read()
{
	rg T data=0,w=1;
	rg char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-') w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
		data=data*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x)
{
	return x=read<T>();
}
typedef long long ll;
using namespace std;

co int N=4e5+1;
int a[N],l[N],r[N];
int bin[31];
void turn(int x)
{
	for(int i=0;i<31;++i,x>>=1)
		bin[i]=x&1;
}
int tot,ch[N*31][2];
int find()
{
	int u=0,res=0;
	for(int i=30;i>=0;--i)
	{
		if(ch[u][bin[i]^1])
			res+=(1<<i),u=ch[u][bin[i]^1];
		else
			u=ch[u][bin[i]];
	}
	return res;
}
void insert()
{
	int u=0;
	for(int i=30;i>=0;--i)
	{
		if(!ch[u][bin[i]])
			ch[u][bin[i]]=++tot;
		u=ch[u][bin[i]];
	}
}
int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	int n=read<int>();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		read(a[i]);
	int x=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		x^=a[i];
		turn(x);
		insert();
		l[i]=max(l[i-1],find());
//		cerr<<i<<" l="<<l[i]<<endl;
	}
	x=0,tot=0;
	memset(ch,0,sizeof ch);
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		x^=a[i];
		turn(x);
		insert();
		r[i]=max(r[i+1],find());
//		cerr<<i<<" r="<<r[i]<<endl;
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<n;++i)
		ans=max(ans,(ll)l[i]+r[i+1]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}