BZOJ2391 Cirno的忧郁

题意

Cirno闲着无事的时候喜欢冰冻青蛙。
Cirno每次从雾之湖中固定的n个结点中选出一些点构成一个简单多边形，Cirno运用自己的能力能将此多边形内所有青蛙冰冻。
雾之湖生活着m只青蛙,青蛙有大有小，所以每只青蛙的价值为一个不大于10000的正整数。
Cirno很想知道每次冻住的青蛙的价值总和。因为智商有限，Cirno将这个问题交给完美算术教室里的你。
因为爱护动物，所以每次冻结的青蛙会被放生。也就是说一只青蛙可以被多次统计。

\(n,m<=1000; q<=10000\)
\(-10000<=x,y<=10000; 0<v<=10000\)

分析

参照xjr_01的题解。

首先介绍一个新东西：三角剖分。拿此题为例，我们把两类点混成一类，只是第一类点权值为 0。接下来，给所有点按照极角坐标排序，那么我们需要维护一个 tot[i][j] 表示原点、i、j 这三个点所构成的三角形包含的点的权值和，并且规定：i 到 j 是极角排序正方向时 tot[i][j] 为正（注意所有权值 v > 0），反之为负。那么在询问时对于一个简单多边形直接把相邻两个顶点的 tot 值累加起来即可。

至于如何维护 tot[i][j]，可以先确定 i 并以点 i 作为新的原点，然后按极角的顺序一个一个往平衡树内加点，每次加点 j 时统计一下当前平衡树内以 i 为原点且在向量 i->j 左的向量有多少个，这个个数就是 tot[i][j]。

用算多边形面积的方式来算权值……出题人真是个天才。我才知道这个算面积的方法叫“三角剖分”。

时间复杂度\(O(n^2 \log n + m*s)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read()
{
	rg T data=0;
	rg int w=1;
	rg char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-')
			w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
		data=data*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x)
{
	return x=read<T>();
}
typedef long long ll;

struct Vector
{
	int x,y;
	
	Vector(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}
	
	bool operator<(co Vector&v)co
	{
		return x*v.y-y*v.x?x*v.y-y*v.x<0:x*x+y*y>v.x*v.x+v.y*v.y;
	}
	
	Vector operator-(co Vector&v)co
	{
		return Vector(x-v.x,y-v.y);
	}
}st(-10001,-10001);

co int N=2001;
int n,m;

struct Point
{
	Vector v;
	int val,id;
	
	Point(Vector v=0,int val=0,int id=0):v(v),val(val),id(id){}
	
	bool operator<(co Point&p)co
	{
		return v-st<p.v-st;
	}
}ps[N];
int cp;

int root,tot;
Vector org;
namespace T
{
	int ch[N][2],siz[N],pri[N];
	Vector v[N];
	int val[N],sum[N];
	
	int newnode(co Point&p)
	{
		int x=++tot;
		ch[x][0]=ch[x][1]=0,siz[x]=1,pri[x]=rand();
		T::v[x]=p.v;
		val[x]=sum[x]=p.val;
		return x;
	}
	
	void pushup(int x)
	{
		siz[x]=siz[ch[x][0]]+1+siz[ch[x][1]];
		sum[x]=sum[ch[x][0]]+val[x]+sum[ch[x][1]];
	}
	
	void split(int x,co Vector&v,int&l,int&r)
	{
		if(!x)
		{
			l=r=0;
			return;
		}
		if(T::v[x]-org<v-org)
		{
			l=x;
			split(ch[l][1],v,ch[l][1],r);
			pushup(l);
		}
		else
		{
			r=x;
			split(ch[r][0],v,l,ch[r][0]);
			pushup(r);
		}
	}
	
	int merge(int x,int y)
	{
		if(!x||!y)
			return x+y;
		if(pri[x]>pri[y])
		{
			ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
			pushup(x);
			return x;
		}
		else
		{
			ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]);
			pushup(y);
			return y;
		}
	}
	
	int insert(int&t,co Point&p)
	{
		int l,r;
		split(t,p.v,l,r);
		int ans=sum[l];
		t=merge(l,merge(newnode(p),r));
		return ans;
	}
}

int pid[N],area[N][N];

void init()
{
	std::sort(ps+1,ps+cp+1);
	std::reverse(ps+1,ps+cp+1);
	for(int i=1;i<=cp;++i)
		if(ps[i].id<=n)
			pid[ps[i].id]=i;
	for(int i=1;i<=cp;++i)
	{
		root=tot=0;
		org=ps[i].v;
		for(int j=i;j<=cp;++j)
		{
			area[i][j]=T::insert(root,ps[j]);
			if(i!=j)
				area[j][i]=-area[i][j];
		}
	}
}

int rps[N];

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int x,y;
		read(x),read(y);
		ps[i]=Point(Vector(x,y),0,i);
	}
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x,y,v;
		read(x),read(y),read(v);
		ps[n+i]=Point(Vector(x,y),v,n+i);
	}
	cp=n+m;
	init();
	int q;
	read(q);
	while(q--)
	{
		int s;
		read(s);
		for(int i=0;i<s;++i)
			rps[i]=pid[read<int>()];
		int ans=0;
		for(int i=0;i<s;++i)
			ans+=area[rps[i]][rps[(i+1)%s]];
		printf("%d\n",abs(ans));
	}
	return 0;
}