棋盘覆盖问题(C++实现)
在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其它方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。
问题: 用4种不同形态的L型骨牌, 覆盖给定特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个不得重叠。
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/934302/201604/934302-20160425181918705-523539650.png)
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/934302/201604/934302-20160425181925939-18373397.png)
特殊方格在棋盘上出现的位置有4k种情形。因而对任何k>=0,有4k种不同的特殊棋盘。
易知,在任何一个2k * 2k的棋盘中,用到的L型骨牌个数恰为(4k -1)/3。
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/934302/201604/934302-20160425181918705-523539650.png)
- 当k>0时,将2k×2k棋盘分割为4个2k-1×2k-1 子棋盘, Figure (a)所示。
- 特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中,其余3个子棋盘中无特殊方格。
- 为将无特殊方格子棋盘转化为特殊棋盘,可以用一个骨牌覆盖3个较小棋盘的会合处,如 Figure(b)所示,从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
- 递归地使用这种分割,直至棋盘简化为棋盘1×1。
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/934302/201604/934302-20160425182010377-315249717.png)
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/934302/201604/934302-20160425182017002-1855221589.png)
#include<iostream> using namespace std; int tile=1; //L型骨牌的编号(递增) int Board[100][100]; //棋盘 /***************************************************** * 递归方式实现棋盘覆盖算法 * 输入参数: * tr--当前棋盘左上角的行号 * tc--当前棋盘左上角的列号 * dr--当前特殊方格所在的行号 * dc--当前特殊方格所在的列号 * size:当前棋盘的:2^k *****************************************************/ void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size) { if(size==1) return; int t=tile++,s=size/2; if(dr<tr+s && dc<tc+s)///在左上角区域内 ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s); else///不在左上角区域内 { Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;///用t号(用一个数字表示)L型骨牌覆盖右下角 ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);///覆盖剩余方格 } if(dr<tr+s && dc>=tc+s)///在右上角区域内 ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s); else///不在右上角的区域内 { Board[tr+s-1][tc+s]=t; ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s); } if(dr>=tr+s && dc<tc+s) ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s); else { Board[tr+s][tc+s-1]=t; ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s); } if(dr>=tr+s && dc>=tc+s) ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s); else { Board[tr+s][tc+s]=t; ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s); } } int main() { int size; cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): "; cin>>size; int index_x,index_y; cout<<"输入特殊方格位置的坐标: "; cin>>index_x>>index_y; ChessBoard ( 0,0,index_x-1,index_y-1,size ); for ( int i=0; i<size; i++ ) { for ( int j=0; j<size; j++ ) cout<<Board[i][j]<<'\t'; cout<<endl; } }
推导过程: 原式等价于 T(k)=4T(k-1)+1
递推得: 4T(k-1)=4(4T(k-2)+1)=42T(k-2)+4
T(k)= 42T(k-2)+4 +1
又有: 42T(k-2)=43T(k-3)+42
故 T(k)= 43T(k-3)+42+4+1
………………….
T(k)=4kT(0)+4k-1+…+4+1=O(4k)
向代码最深处出发~!