棋盘覆盖问题（C++实现）

在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。

问题: 用4种不同形态的L型骨牌, 覆盖给定特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个不得重叠。

 

特殊方格在棋盘上出现的位置有4k种情形。因而对任何k>=0，有4k种不同的特殊棋盘。

易知，在任何一个2k * 2k的棋盘中，用到的L型骨牌个数恰为(4k -1)/3。

 

1. 当k>0时，将2k×2k棋盘分割为4个2k-1×2k-1 子棋盘, Figure (a)所示。
2. 特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。
3. 为将无特殊方格子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个骨牌覆盖3个较小棋盘的会合处，如 Figure(b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
4. 递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘1×1。

 

#include<iostream>
using namespace std;
int tile=1;                   //L型骨牌的编号(递增)
int Board[100][100];  //棋盘
/*****************************************************
* 递归方式实现棋盘覆盖算法
* 输入参数：
* tr--当前棋盘左上角的行号
* tc--当前棋盘左上角的列号
* dr--当前特殊方格所在的行号
* dc--当前特殊方格所在的列号
* size：当前棋盘的:2^k
*****************************************************/
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
{
    if(size==1) return;
    int t=tile++,s=size/2;
    if(dr<tr+s && dc<tc+s)///在左上角区域内
    ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
    else///不在左上角区域内
    {
        Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;///用t号(用一个数字表示)L型骨牌覆盖右下角
        ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);///覆盖剩余方格
    }
    if(dr<tr+s && dc>=tc+s)///在右上角区域内
        ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
    else///不在右上角的区域内
    {
        Board[tr+s-1][tc+s]=t;
        ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
    }
    if(dr>=tr+s && dc<tc+s)
        ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
    else
    {
        Board[tr+s][tc+s-1]=t;
        ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
    }
    if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)
        ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    else
    {
        Board[tr+s][tc+s]=t;
        ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }
}
int main()
{
    int size;
     cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): ";
     cin>>size;
     int index_x,index_y;
     cout<<"输入特殊方格位置的坐标: ";
     cin>>index_x>>index_y;
     ChessBoard ( 0,0,index_x-1,index_y-1,size );
     for ( int i=0; i<size; i++ )
     {
         for ( int j=0; j<size; j++ )
             cout<<Board[i][j]<<'\t';
         cout<<endl;
     }
}

推导过程:  原式等价于  T(k)=4T(k-1)+1

           递推得: 4T(k-1)=4(4T(k-2)+1)=42T(k-2)+4    

                        T(k)= 42T(k-2)+4 +1

             又有: 42T(k-2)=43T(k-3)+42 

                  故 T(k)= 43T(k-3)+42+4+1

                        ………………….

                       T(k)=4kT(0)+4k-1+…+4+1=O(4k)