浅谈求乘法逆元

费马小定理

在模为素数p的情况下，有费马小定理

\(a^{p-1} \equiv 1(\mod p)\)

那么\(a^{p-2} \equiv a^{-1}(\mod p)\)

也就是说\(a\)的逆元为\(a^{p-2}\)

#define ll long long

ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {
	ll ans = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod; b >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll work(ll a, ll p) {return ksm(a, p - 2, p);} // 求a在模p意义下的逆元

拓展欧几里得

给定模数\(p\)，求\(a\)的逆元相当于求解\(ax \equiv 1(\mod m)\)

这个方程可以转化为\(ax-my=1\)

然后套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组\(x_0\),\(y_0\)和\(\gcd\)

检查\(\gcd\)是否为\(1\)

\(\gcd\)不为\(1\)则说明逆元不存在

若为\(1\)，则调整\(x_0\)到\([0,m)\)的范围中即可

PS：这种算法效率较高，常数较小，时间复杂度为\(O(\ln n)\)

void ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if(b == 0) {
		x = 1; y = 0;
		return;
	}
	ex_gcd(b, a % b, x, y);
	ll tmp = x; x = y; y = tmp - (a / b) * y;
}

ll work(ll a, ll p) {
	ll x, y;
	ex_gcd(a, p, x, y);
	return (x % p + p) % p;
}