题解：P1072 [NOIP2009 提高组] Hankson 的趣味题

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• 题意
• 思路
• AC Code

呃呃呃，考完 csp 第一次在 luogu 上写题解。

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题意

给予四个整数 $a,b,c,d$，求满足 $gcd(a,x)=b,\mathrm{lcm}(c,x)=d$ 的正整数 $x$ 的个数。

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思路

对于条件一，$x$ 的范围过于宽泛，难道你要扫描 $b$ 的所有倍数吗？

所以我可以将 $x$ 的大致范围锁定在条件二中，即 $x$ 为 $d$ 的约数。

锁定 $d$ 的所有约数只需要 $O(\sqrt{d})$ 的复杂度。

具体的来说，所有约数，除 $\sqrt{d}$ 以外，都是成对出现的，若有一个约数是 $i$，则必有另一个为 $d/i$。

所以，我们只需要扫描 $1$ 到 $\sqrt{d}$ 即可，每扫描到一个约数 $i$，将 $i$ 和 $d/i$ 放入放约数的数组（$\sqrt{d}$ 除外，特判一下）。

谨记：$1$ 也要扫描，题目中没要排除 $1$。

然后将扫描出来的约数每一个判断一下是否满足题目中的条件即可。

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AC Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int gcd(int a,int b){ return b ? gcd(b,a%b) : a;} 
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);} 
int a,b,c,d,ans;
int primes[N],p,t;
void solve(){
	p=0,ans=0;
	cin>>a>>b>>c>>d;
	for(int i=1;i<=sqrt(d);i++)if(d%i==0&&i*i!=d)primes[++p]=i,primes[++p]=d/i; else if(d%i==0)primes[++p]=i;//码风不好，请谅解一下。
	for(int i=1;i<=p;i++){
		if(primes[i]*c==d*gcd(primes[i],c)&&gcd(a,primes[i])==b){
			++ans;
		}
	}
	cout<<ans<<"\n";
}
int main(){
	cin>>t;
	while(t--)solve();
	return 0;
}