再学欧拉之欧拉定理

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• 引理一：集合 $P$ 中的数对 $n$ 取模的余数两两不同。
• 引理二：$P\mathrm{mod}n$ 的每个余数都与 $n$ 互质。
• the last step
• 证明：

没错，本文的一切还是为了它 ——$\phi$。

欧拉定理

内容

若 $a,n$ 互质，则有 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$。

证明

设小于 $n$ 且与 $n$ 互质的自然数集合（即 $n$ 的剩余系）为：$X:x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{\phi (n)},P:p_1=a\times x_1,p_2=a\times x_2,\dots ,p_{\phi (n)}=a\times x_{\phi (n)}$。

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引理一：集合 $P$ 中的数对 $n$ 取模的余数两两不同。

反证法

若 $\mathrm{\exists }{p}_i\mathrm{mod}n=p_j\mathrm{mod}n(i\ne i)(x_i>x_j)$。

则 $(p_i-p_j)\mathrm{mod}n=0⟺a(x_i-x_j)\mathrm{mod}n=0$。

因为 $a$ 与 $n$ 互质，$x_i<n,x_j<n$。

所以 $x_i-x_j<n$。

则 $a(x_i-x_j)\mathrm{mod}n\ne 0$。

于是引理一成立。

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引理二：$P\mathrm{mod}n$ 的每个余数都与 $n$ 互质。

反证法

设 $a\times x_i=k\times n+r$，则 $r=a\times x_i-k\times n$。

因为 $r$ 与 $n$ 互质，则 $c=gcd(a\times x_i-k\times n,n)>1$。

因为 $c$ 是 $r$ 的约数也是 $n$ 的约数。

则 $k\times n,a\times x_i$ 是 $c$ 的约数。

则 $gcd(a\times x_i,n)\ge c$。

因为 $a$ 与 $n$ 互质，$x_i$ 与 $n$ 互质。

所以 $gcd(a\times x_i,n)=1$。

则结论相对，所以引理二正确。

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the last step

1. $P$ 的每个数 $\mathrm{mod}n$ 两两不同（引理一）。

2. $P$ 的每个数 $\mathrm{mod}n$ 与 $n$ 互质。

3. $P$ 的每个数 $\mathrm{mod}n$ 的个数是 $\phi (n)$。

4. $X$ 是 $varphi(n)$ 个小于 $n$ 且与 $n$ 互质两两不同的整数。

则推理得 $P$ 的每个数 $\mathrm{mod}n$ 与 $X$ 所包含的数相同且一一对应。

则 $\prod _{i=1}^{\phi (n)}{p}_i\mathrm{mod}n=\prod _{i=1}^{\phi (n)}{x}_i\mathrm{mod}n$。

$(a{x}_1\times a{x}_2\times \cdots \times a{x}_{\phi (n)})\mathrm{mod}m=\prod _{i=1}^{\phi (n)}{x}_i\mathrm{mod}n$

$a^{\phi (n)}\times \prod _{i=1}^{\phi (n)}{x}_i\mathrm{mod}n=\prod _{i=1}^{\phi (n)}{x}_i\mathrm{mod}n$

$a^{\phi (n)}\mathrm{mod}n=1$

$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$。

证毕。

欧拉定理的推论

若正整数 $a,n$ 互质，则对于任意正整数 $b$，有 $a^b\equiv a^{bmod\phi (n)}(\mathrm{mod}n)$。

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证明：

设 $b=q\times \phi (n)+r,(0\le r<varphi(n))$。

用另一种说法就是 $r=bmodp$。

于是：

$a^b\equiv (a^{q\times \phi (n)}+r)\equiv (a^{varphi(n)}{)}^q\times a^r(\mathrm{mod}n)$

有欧拉定理得 $a^{\phi (n)}$ 是 $n$ 的倍数，所以 $(a^{varphi(n)}{)}^q$ 这里可以化简为 $1$。

则 $a^b\equiv a^r\equiv a^{bmod\phi (n)}(\mathrm{mod}n)$。

证毕。

欧拉定理简单运用

当计数类题目要求结果对质数 $p$ 取余，面对 $a+b,a\times b$ 之类的算式，先将 $a,b$ 对 $p$ 取余，再将结果对 $p$ 取余。

对于 $a^b$，将 $amodp,bmod\phi (p)$，再运算。