初学欧拉函数记

阅读目录

• 互质
• 积性函数
• 含义
• 性质

显然，本文的一切都是关于它——$\phi$。

前提

回到顶部

互质

若有正整数 $a,b$ 且满足 $gcd(a,b)=1$，则称 $a,b$ 互质。

对于多种数的情况，我们把 $gcd(a,b,c)=1$ 的情况称为 $a,b,c$ 互质。把 $gcd(a,b)=gcd(a,c)=gcd(b,c)=1$ 称为 $a,b,c$ 两两互质。后者明显是一个更强的条件。

回到顶部

积性函数

如果 $a,b$ 互质，有 $f(a)\times f(b)=f(a\times b)$，则称函数 $f$ 为积性函数。

积性函数性质

易证，若函数 $f$ 为积性函数，且在算法基础定理中 $n=\prod _{i=1}^m{p}_i^{c_i}$，则 $f(n)=\prod _{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})$。

正题·欧拉函数

回到顶部

含义

$1$ 到 $N$ 中所有与 $N$ 互质的数的个数称为欧拉函数，记为 $\phi (N)$。

回到顶部

性质

欧拉函数性质一：

$N$ 可以表示为 $p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}{p}_3^{c_3}\dots p_m^{c_m}$。

对于 $N$ 的质因子 $a$，$a$ 的倍数中在 $[1,N]$ 区间内的有 $a,2a,3a,\dots ,(N/a)\ast a$，共有 $N/a$ 个。

对于另一个 $N$ 的质因子 $b$,同理，$b$ 的倍数中在 $[1,N]$ 区间内的有 $N/b$ 个。

则在 $1N$ 中既不是 $a$ 的倍数又不是 $b$ 的倍数的个数按理说有 $N-\frac{N}{a}-\frac{N}{b}$ 个，但 $b\times a$ 的倍数被减了两次需要加回一次，所以个数是 $N-\frac{N}{a}-\frac{N}{b}+\frac{N}{b\times a}=N\times (1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{a\times b})=n(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})$。

加以扩深的：$\phi (N)=N\times \prod _{\mathrm{质}\mathrm{数}p\mid N}(1-\frac{1}{p})$

所以求欧拉函数的方法一：质因数分解法

int phi(int n){
	int ans=n;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
		if(n%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0)n/=i;
		} 
	}
	if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
	return ans; 
}

欧拉函数性质二：

$\mathrm{\forall }n>1$，$1$ 到 $n$ 中与 $n$ 互质的数的和为 $n\times \phi (n)/2$。

$\because gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$

$\therefore$ 与 $n$ 互质的数 $x,n-x$ 成对出现，平均值为 $n/2$。

因此，与 $n$ 互质的数的平均值是 $n/2$，由此推出性质二。

欧拉函数性质三：

对 $a,b$ 质因数分解，可直接得出 $\phi (a)\times \phi (b)=\phi (a\times b)$，这就是前提中的积性函数。

欧拉函数性质四：

设 $p$ 为质数，若 $p\mid n,p^2\mid n$，则$\phi (n)=\phi (n/p)\times p$。

证：由 $p\mid n,p^2\mid n$，则 $n,n/p$ 具有相同质因子，只是 $p$ 的指数不同。

欧拉函数性质五：

设 $p$ 为质数，若 $p\mid n,p^2！\mid n$（不会打不整除，用 ! 来代替一下），则$\phi (n)=\phi (n/p)\times (p-1)$。

证：和四的差不多。

欧拉函数性质六：

$\sum _{d\mid n}^{}\phi (d)=n$。

这个真不会。。。

证明：

设 $f(n)=\sum _{d\mid n}^{}\phi (d)$。用乘法分配律展开比较，再利用 $\phi$ 是积性函数，得到：若 $n,m$ 互质，则 $f(nm)=\sum _{d\mid nm}^{}\phi (d)=\sum _{d\mid n}^{}\phi (d)\times \sum _{d\mid m}^{}\phi (d)=f(n)\times f(m)$ 是积性函数，对于单个质因子，$f(p^m)=\sum _{d\mid p^m}^{}\phi (d)=\phi (1)+\phi (p)+\phi (p^2)+\cdots +\phi (p^m)$ 是一个等比数列求和再加 $1$，结果为 $p^m$。所以 $f(n)=\prod _{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})=\prod _{i=1}^m{p}_i^{c_i}=n$。

后续

积性函数还会涉及狄利克雷卷积、莫比乌斯反演等，但这些知识过于高贵，超过了作者脑子的思考范围，所以作者并不打算在这一文章中继续讲。