函数的三大性质及抽象函数的做法

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• 增函数
• 减函数
• 奇函数
• 偶函数
• 中心对称
• 轴对称
• 例题
• 例题2

单调性

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增函数

$\mathrm{\forall }{x}_1，x_2\in I$

当 $x_1<x_2$ 且 $f(x_1)<f(x_2)$ 时

称 $f(x)$ 在 $I$ 单调递增。

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减函数

$\mathrm{\forall }{x}_1，x_2\in I$

当 $x_1<x_2$ 且 $f(x_1)>f(x_2)$ 时

称 $f(x)$ 在 $I$ 单调递减。

奇偶性

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奇函数

1： 定义域和函数图像关于原点对称

2： $f(-x)=-f(x)$

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偶函数

1： 定义域关于原点对称

2： 图像关于 $y$ 轴对称

对称性

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中心对称

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轴对称

没有什么好说的。

这篇文章的重点——抽象函数

抽象函数是指没有具体的解析式的函数。

需代数来做。

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例题

已知定义在 $R$ 的函数 $f(x)$ 满足对任意实数 $x,y$，都有 $f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)$；又 $f(1)=2$。 判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并加以证明。

令 $x=y=0$

$\therefore f(1)=f(1)+f(0{)}^2$

即 $f(0)=0$

在令 $x=-1,y=1$

得 $f(1)=f(-1)-f(-1)f(1)$

$\therefore 2=f(-1)-2f(-1)$

得 $f(-1)=-2$

所以是奇函数。

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例题2

若 $(3x+y{)}^{2021}+x^{2021}+4x+y=0$,求 $4x+y$

原式 $=(3x+y{)}^{2021}+3x+y+x^{2021}+x$

令 $F(x)=x^{2021}+x$

原式 $=F(3x+y)+F(x)=0$

明显 $F(x)$ 为奇函数

$\therefore 3x+y+x=4x+y=0$