位运算与组合搜索（一）

When bitwise operations are combined with

addition, subtraction, multiplication, and/or shifting,

extremely intricate results can arise,

even when the formulas are quite short.

-- Donald E. Knuth [TAoCP, section 7.1.3]

我们知道，一个集合的子集通常可由一个位串来表示，比如对于集合 {a, b, c, d, e}，可用位串 s = ”11001” 来表示其子集 {a, b, e}。当集合的大小不大于机器的字长（在下文中将假设字长为32）时，这些位串又可用一个无符号整数来表示，比如上面的 s 可以存储为 0b10011 = 19。在此种情形下，很多集合操作都可以通过位运算来完成，一些常见操作如下：

求集合 A, B 的交集: a & b

求集合 A, B 的并集: a | b

求集合 A 的补集：~a

求集合 A – B：a & (~b)

测试集合 A 是否包含第 i 个元素：(a & (1<<i)) != 0

测试集合 A 是否是集合 B 的父集：(a & b) == b

当然，这些操作还有很多，比如求对称差就是一个异或等等，这里就不一一列举了，因为这并不是本文的重点。本文的主要目的是讨论一些集合上的组合搜索。具体来说就是怎样高效遍历一个集合的所有子集（subset），或者一个集合的含有固定元素个数的所有子集（亦即是组合，combination）。如果你对怎么实现这些操作不感兴趣，你可以直接下载本文所附的代码，里面包含了已经封装好了的类，和一些简单的例子。如果你感兴趣，而且正巧知道一点常用位运算技巧的话，请 continue。

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1. 遍历所有子集

1.1 遍历全集的所有子集

若全集 U 有 n 个元素，表示成位串为 1111…1（n个1），对应的无符号整数即是 2^n – 1 = (1 << n) - 1（注意当 n 等于32 时需要做一些调整，不过我想你也大概不会要遍历到这么大一个集合的所有子集）。容易观察到，U 的所有子集刚好与区间 [0, 2^n – 1] 内的所有整数形成一一映射，于是通过下面这段代码即可依次访问 U 的所有子集：

for (unsigned long i = 0; i < (1UL << n); ++i)
{
    visit(i);
}

这是每个程序员都应该知道的技巧。举个例子，若全集为 {a, b, c}，那么上面这段代码所访问的子集及顺序将如下表所示：

序号	值	位串	子集
1	0b000	000	Φ
2	0b001	100	{a}
3	0b010	010	{b}
4	0b011	110	{a, b}
5	0b100	001	{c}
6	0b101	101	{a, c}
7	0b110	011	{b, c}
8	0b111	111	{a, b, c}

注意这里访问子集的顺序并不是 lexicographic order (lex)，而是另外一种与 lex  关系微妙的序，被称为 colexicographic order (colex)。lex 是从左到右依次比较，而 colex 正好相反，实际上在 colex 中，如果将各子集反转一下，比如将集合 {a, b, c} 写成 {c, b, a}，你会发现，反转之后的子集们正是按照 lex 排列的。在下表中列出了 {a, b, c} 的所有子集的 lex 序及 colex 序，为了看起来更方便，省略了集合符号，注意观察 lex 与 colex 之间的联系。

lex	colex
Φ	Φ
a	a
ab	b
abc	ba
ac	c
b	ca
bc	cb
c	cba

再说说如何反向的遍历所有子集。这个其实很显然，因为 ++i 的逆操作是 --i ，因此对上面的代码做点小修改即得到 reverse colex：

for (unsigned long i = (1UL << n) - 1; ; --i)
{
    visit(i);
    if (i == 0) break;
}

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1.2 遍历子集的所有子集

有些时候我们不仅需要遍历全集的所有子集，还需要遍历某个子集的所有子集。你可能会想这似乎没什么区别啊，因为当针对某个子集来讨论其所有子集时，这个子集也就成了全集。的确，在数学上当我们要考虑某个集合的幂集时，并不需要区别这个集合是全集还是全集的某个子集。但是当集合是用位串来表示时，情况就发生变化了，因为正是一个约定的全集决定了位串的长度，同时也决定了位串中的每个位与全集中的哪个元素相对应，换句话说就是定义了位串与子集之间的映射关系。如果想将某个子集做为全集来处理，你就必须重新进行映射。举个例子，若全集为 U = {a, b, c, d, e}，若想得到它的一个子集 S = {a, e} 的所有子集，可以暂时先将 S 做为一个全集来处理，按照上面遍历全集的算法将依次得到位串 00, 10, 01, 11，这些位串的第1位代表元素 a，第2位代表元素 e。当再回到全集 U 上时，由于 U 上的位串是第1位代表 a，第5位代表 e，因此还需要进行一个映射将 S 上的位串映射为 U 上的位串。下表按照 colex 依次列出了 S 的所有子集，注意从 S 到 U 的映射关系。

序号	值	映射	位串	子集
1	0b00	0b00000	00000	Φ
2	0b01	0b00001	10000	{a}
3	0b10	0b10000	00001	{e}
4	0b11	0b10001	10001	{a, e}

一个映射操作可以重新叙述如下：给定一个 n 位的二进制数 u，一个 m  位的二进制数 v，且有在 u 中1的个数等于 m 。设在 u 中为1的位的索引从低到高依次为 p1,p2,…,pm，再设下标操作符 [] 可以索引一个二进制数的某个位（最低位的索引为1），那么映射操作将返回一个 n 位二进制数 w，满足

对所有 1 <= i <= n ，若u[i] = 0，则 w[i] = 0

对所有 1 <= i <= m ，w[pi] = v[i]

比如给定 u = 0b10110100, v = 0b1100, 将得到 w = 0b10100000。这个映射操作是 non-trival 的，也就是说你不能指望通过简单的一两次位运算就能得偿所愿。具体怎么实现咱们后面再讲，因为在这里使用一个非常漂亮的技巧可以绕过这个操作。为了叙述方便，先定义一个概念（非正式）：

片段：对于任意两个 n 位二进制数 x 和 mask，若在 mask 中为1的位的索引分别为 p1,p2,…,pk，那么将这些位 x[p1],x[p2],…,x[pk] 称为 x 在 mask 上的片段，不妨记为 [x@mask]。比如对于 x = 0b0001, mask = 0b1001, 那么 [x@mask] 由 x 的第1位和第4位组成，用红色标识出来即为 0b0001。

在前面我们已经看到，遍历子集的关键就是一个+1（colex）或者-1（reverse colex）操作。如果我们能在片段上直接进行+1或者-1操作，那就解决问题了。比如 0b0001 + 1 直接就得到 0b1000。事实上，这的确可以做到，而且非常简单。

先来看看片段上的-1操作（因为-1比+1简单，而且也有更多的人知道这一技巧）。若 x & mask = x，即 x 是 mask 的子集，则有：

[x@mask] - 1 = (x – 1) & mask

上面这个公式为什么是正确的？因为既然 x 是 mask 的子集，因此 mask 为0的位在 x 中也为0。这些0在-1运算中会正确的传播借位，就如同它们并不存在一样。比如 0b1000 – 1 = 0b0111（注意在第1位中产生的借位是如何传播到第4位的）。最后再与 mask 相与，清零掉那些无关的位，即得到正确的结果 0b0001。

于是，如果想要按照 reverse colex 遍历某个子集（假设表示成一个无符号整数为 s) 的所有子集，将 s 做为 mask 然后进行-1操作即可，代码如下：

for (unsigned long i = s; ; i = (i - 1) & s)
{
    visit(i);
    if (i == 0) break;
}

再来看看如何在片段上进行+1操作。受上面-1操作的启发，我们意识到这里最关键的问题在于如何正确的传播进位。传播借位是将无关位设为0，那传播进位呢？——将无关位设为1，Bingo!。怎么将无关位设为1呢，将mask取反，然后再相或就成，于是有：

[x@mask] + 1

    = ((x | (~mask)) + 1) & mask

    = (x + (~mask) + 1) & mask     // 若 x & mask = x，那么 x | (~mask) = x + (~mask)

    = (x – mask) & mask                // (~mask) + 1 = – mask

现在我们终于可以正向地遍历子集 s 的所有子集了：

for (unsigned long i = 0; ; i = (i - s) & s)
{
    visit(i);
    if (i == s) break;
}

…未完待续，下一篇文章将讨论组合的遍历，关键词：Gosper's hack, colex, cool-lex, reverse cool-lex。

代码下载：https://files.cnblogs.com/atyuwen/bit_combinatorics.rar