完全平方数的判定及整数平方根的快速求解
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在上个星期的“有道难题”网络预赛中，某些Group的第二题涉及到了完全平方数的判定问题。相信大多数人的判定语句都差不多是这样写的：if(sqr((int)sqrtl(n))==n){...}，把这条语句整理一下，大概是这样：
inline int directSqrt(int n)
{
int root = static_cast<int>(sqrtl(n));
if (sqr(root+1) <= n)
{
return root + 1;
}
else return root;
}
inline bool isSquareNumber(int n)
{
int root = directSqrt(n);
return sqr(root) == n;
}
这个判定方法主要是利用标准库的sqrt函数来求整数平方根（integer square root），正确性不用怀疑，效率也足够。但是如果想要更快呢？通常来说，要判定任意一个数是否是完全平方数，求根的过程在所难免。但是，标准库的sqrt函数是求浮点平方根的，而我们只需要获取整数平方根即可，所以在这里肯定还有性能提升的空间。于是接下来就列举一些计算整数平方根的方法（后两个算法不是我写的），按照计算速度从慢到快依次排列，其中最后一个算法的效率大概是上述直接利用sqrtl的方法的四倍。
1. 线性搜索，直接从小到大依次取数试探，最原始的办法，代码如下：
{
int i = 0;
while (sqr(i) <= n) ++i;
return i-1;
}
2. 二分法寻找根
{
int l = 0, r = n/2 + 1;
while (r - l > 1)
{
int m = (l+r)/2;
__int64 sqrm = sqr(m);
if (sqrm == n)
{
return m;
}
else if (sqrm > n) r = m;
else l = m;
}
if (sqr(r) == n)
{
return r;
}
else return l;
}
3. 牛顿迭代法，令方程 x^2 - n = 0，则求sqrt(n)也即是求这个方程的根，根据牛顿法的迭代公式有：x' = x - (x^2-n)/(2x) = (x^2+n)/(2x)，选定合适的初始值迭代，很快就能收敛到根。另外，这个迭代其实也就是不动点迭代的松弛形式，由 x^2= n => x = n/x, 得不动点迭代x' = n/x，加上松弛系数1/2（算数平均），得x'= 1/2 * (x + n/x)，即 x' = (x^2+n)/(2x)，与前面牛顿法的迭代公式相同。算法的代码如下：
{
static int table[16] = {
1, 1<<2, 1<<4, 1<<6, 1<<8, 1<<10, 1<<12, 1<<14, 1<<16,
1<<18, 1<<20, 1<<22, 1<<24, 1<<26, 1<<28, 1<<30,
};
unsigned i = 0, x0 = 0, x1 = 0;
while (table[i] < n && i!=16) ++i; x0 = 1 << i;
while (x0 != 0)
{
x1 = static_cast<int>((sqr(x0) + n)/ (2*x0));
if (x1 >= x0)
{
break;
}
x0 = x1;
}
return x0;
}
4. 逐位确定法，从高到低依次确定根的各个二进制位。见下面这个代码，看起来似乎很飘逸，但实际上算法很简单明晰，具体的解释可以搜索James Ulery的论文:"Computing Integer Square Roots".
{
int temp, nHat = 0, b = 0x8000, bshft = 15;
do
{
if (n >= (temp = (((nHat<<1)+b)<<bshft--)))
{
nHat += b;
n -= temp;
}
} while (b >>= 1);
return nHat;
}
5.建表+牛顿迭代，这个算法号称是要用来替代java数学包中的(int)(java.lang.Math.sqrt(integer))函数的，速度奇快，首先建立了一张强大的表来确定初值，然后最多经过两次牛顿迭代后就得到精确解。
{
static int table[256] = {
0, 16, 22, 27, 32, 35, 39, 42, 45, 48, 50, 53, 55, 57,
59, 61, 64, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 76, 78, 80, 81, 83,
84, 86, 87, 89, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 102,
103, 104, 106, 107, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118,
119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 128, 129, 130, 131, 132,
133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 144, 145,
146, 147, 148, 149, 150, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 155, 156, 157,
158, 159, 160, 160, 161, 162, 163, 163, 164, 165, 166, 167, 167, 168,
169, 170, 170, 171, 172, 173, 173, 174, 175, 176, 176, 177, 178, 178,
179, 180, 181, 181, 182, 183, 183, 184, 185, 185, 186, 187, 187, 188,
189, 189, 190, 191, 192, 192, 193, 193, 194, 195, 195, 196, 197, 197,
198, 199, 199, 200, 201, 201, 202, 203, 203, 204, 204, 205, 206, 206,
207, 208, 208, 209, 209, 210, 211, 211, 212, 212, 213, 214, 214, 215,
215, 216, 217, 217, 218, 218, 219, 219, 220, 221, 221, 222, 222, 223,
224, 224, 225, 225, 226, 226, 227, 227, 228, 229, 229, 230, 230, 231,
231, 232, 232, 233, 234, 234, 235, 235, 236, 236, 237, 237, 238, 238,
239, 240, 240, 241, 241, 242, 242, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246,
246, 247, 247, 248, 248, 249, 249, 250, 250, 251, 251, 252, 252, 253,
253, 254, 254, 255
};
int xn;
if (n >= 0x7FFEA810) return 0xB504;
if (n >= 0x10000) {
if (n >= 0x1000000) {
if (n >= 0x10000000) {
if (n >= 0x40000000) {
xn = table[n>> 24] << 8;
} else {
xn = table[n>> 22] << 7;
}
} else {
if (n>= 0x4000000) {
xn = table[n>> 20] << 6;
} else {
xn = table[n>> 18] << 5;
}
}
xn = (xn + 1 + (n/ xn)) >> 1;
xn = (xn + 1 + (n/ xn)) >> 1;
return ((xn * xn) > n) ? --xn : xn;
} else {
if (n>= 0x100000) {
if (n>= 0x400000) {
xn = table[n>> 16] << 4;
} else {
xn = table[n>> 14] << 3;
}
} else {
if (n>= 0x40000) {
xn = table[n>> 12] << 2;
} else {
xn = table[n>> 10] << 1;
}
}
xn = (xn + 1 + (n/ xn)) >> 1;
return ((xn * xn) > n) ? --xn : xn;
}
} else {
if (n>= 0x100) {
if (n>= 0x1000) {
if (n>= 0x4000) {
xn = (table[n>> 8]) + 1;
} else {
xn = (table[n>> 6] >> 1) + 1;
}
} else {
if (n>= 0x400) {
xn = (table[n>> 4] >> 2) + 1;
} else {
xn = (table[n>> 2] >> 3) + 1;
}
}
return ((xn * xn) > n) ? --xn : xn;
} else {
if (n>= 0) {
return table[n] >> 4;
}
}
}
return -1;
}
依次计算从1到1000000的每个数的整数平方根，下面分别是上面6个算法所用的时间：
0. 利用标准库sqrtl, directSqrt : 610 ms
1. 线性搜索, linearSqrt : 81256 ms
2. 二分法, bisectionSqrt : 2734 ms
3. 牛顿迭代法， newtonSqrt : 691 ms
4. 逐位确定法， fastIntSqrt : 301 ms
5. 建表+牛顿迭代， javaIntSqrt : 150 ms
可见牛顿迭代法与利用标准库sqrtl的方法速度相当，逐位确定法的速度大概是牛顿迭代法的两倍。当然，最快的还是建表+牛顿迭代，看来以其来替代(int)(java.lang.Math.sqrt(integer))也不是没有道理的。另，以上测试数据相对来说都比较小，可以想象，若是计算接近于2^31这样的大数的整数平方根，逐位确定法和建表+牛顿迭代应该更占据优势。
