汪教授的离散数学2011-03-04谓词与量词1

想先抱怨一下教授的PPT是逻辑混乱的，所以也在一定程度上导致他的讲课内容在逻辑上不是那么连贯。

我自己把内容整理了一下，加入了很多自己的理解，应该是很不规范严谨了，但是为了理解简单，也就先这样吧。

这次不能直接放图，图没能把所有的逻辑关系表达清楚，需要一些文字的补充。

先给图的地址http://www.xmind.net/share/_embed/atskyline/predicates-and-quantifiers-1-1/

首先从上次的命题逻辑说起，命题是一个有明确真值的陈述句。这里有一个问题，一句陈述句太长了，以它为基本单位很多事情没办法分析。比如最著名的苏格拉底三段论。

人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。

把整个三段论看成一整理来分析，明显太过复杂。所以我们要对它进行划分，然后在分析。

对一个陈述句的划分，自然是分成 主谓宾……

到这里我们就可以引出第一个概念 客体。 句子中主语，宾语或者其他名词和名词性质的东西就叫做客体。这个东西可以是具体的也可以是抽象的，但是必须能独立存在。

比如 小张是大学生。小李是大学生。

小张，小李明显就是客体，而且我们可以进行抽象成x.让句子变成x是大学生。变量x可以代表任何客体（在一定范围内）。这个x就是客体变元。

把客体弄好后，谓词也就比较简单了。它是描述客体性质或关系的东西。比如上例我们设A(x)表示x是大学生。这样A（x）就是一个谓词，具体的成为一元谓词。想当然的像

G（x,y）:x>y叫二元谓词.P(x1,x2,...,xn)叫n元谓词。

这里有一个大问题，我找了很多资料都说n元谓词又称简单命题函数。复杂命题函数是简单命题函数+逻辑连接词。我倒现在没弄懂命题函数和谓词公式是不是等价的。这个很郁闷= =|所以我把命题函数这部分独立出来

回到谓词，还有一个概念叫论域，就是客体变元的取值范围，更直接就是那些x,y,z的取值范围。比如说那个大学生的例子x的取值范围怎么说也要是人类这个范围吧。（数学逻辑定义与现实逻辑的问题我懒得深究）

现在有了n元谓词，如果n元谓词+逻辑连接词，就是逻辑公式。有没有想到命题公式=原子命题+逻辑连接词。他们有太多相似的东西了，本来嘛就是命题太粗了所以在引入谓词这些东西的。所以我简单的吧谓词公式理解为命题公式的加强版或者说细化版。

关于谓词公式到这里先打住一下，剩下的东西一会在说。

我们有了谓词公式之后，要考虑一个问题，怎么把命题函数变成命题。

方法一：给所有的变量赋值，把命题变元，客体变元等等变量，用一个具体的东西代进去，自然就出现一个明确的命题出现了。

方法二：量化。这里就要引入量词。简单的说也是我们把那些变量进行限定。不过是比较高级的限定，不再是赋一个值。比如说 存在X怎样怎样……或者对于任意X怎样怎样……

“存在”和“任意”这两个就叫做量词。话说这本离散数学也只讨论这两个。没什么难理解的。那两个符号我不会打，所以也就不在写了。

关于他们，有三点要注意，量词的否定，辖域，还有特征谓词。前两点直接看图，最后一点一会在提到。

量词也就是这样，现在要回到谓词公式部分。在这里我们把变元有分成约束变元和自由变元。另外还有一个多提的绑定变元。简单的就是按这个变量有没有被赋值，量化来区分。

这里还很烦得有一个变元的改名问题。一个字母（变量）同时是约束变元，又是自由变元，就可以给他改名，让它好看写。具体看图的例子比较好理解。

这样我们把谓词公式也讲完了。

接下去一点是，命题的符号化。就是把一个命题采成几个n谓词+逻辑连接词。有超级多的练习，去玩一玩就好了

在命题的符号化中会遇到一个非常常见的问题，特征谓词。

如很前面说的客体会有一个取值范围，成为论域。我们常常需要一个谓词来描述这个范围，这就叫做特征谓词。具体的看例子会比较好理解。

要记住的就是存在量词和与相配，全称量词和蕴含相配。

最后和命题演算相似可以类比出一些概念谓词公式等价、谓词公式永真蕴涵式、一些谓词公式的永真式……这些在下一节课应该还有所补充