树的重心

定义

对于树上的每一个点，计算其所有子树中最大的子树节点数，这个值最小的点就是这棵树的重心。

性质

1. 以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。

2. 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。

3. 把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。

4. 在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

（上述内容均来自oiwiki）

5. 一棵树只有一到两个重心。

求法

通过性质1可以发现“某节点的最大子树大小不超过整棵树大小的一半”和“该节点是树的重心”互为充要条件，因此我们可以以任意一点为根进行 DFS 记录每个子树的大小和其父亲的最大子树，再与 \(\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\) 比较大小即可。

void Getcentroid(int u,int f){
	siz[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].Next){
		int v=e[i].to;
		if(v==f)continue;
		Getcentroid(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
		wei[u]=max(wei[u],siz[v]);
	}
	wei[u]=max(wei[u],n-siz[u]);
	if(wei[u]<=n/2)
		cen[cen[0]!=0]=u;
}

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