树：最小生成树-两种算法

先来说说什么是树。

树实际上是图的一种，当一个有N个点的无向连通图，只有N-1条边时，就是一棵树，即树中不会有环出现；所以对于一个图，删除某些环中的某条边，使得该图成为一棵树，那么这棵树就称为生成树。

而最小生成树的意思就是，给定有n个顶点的带权图G（E，V），找到一棵生成树，求该生成树的边权和。

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Kruskal算法：

算法步骤：

      1.构造一个有n个顶点的无边子图；

      2.从原图选择边权最小的边加入该子图，直至子图成为一棵树；

      3.边能加入子图的条件是，边的两个端点u，v还未连通，Kruskal算法中运用并查集的查询来询问两个顶点是否连通；

      Kruskal算法的本质是，通过树的合并（不断加边，构成子树），来构建完整的生成树。

Kruskal+邻接表 模板如下：

//复杂度O（ElogE），E为边数
const int INF=10e8;
const int MAXN=110;
const int MAXM=MAXN*MAXN;

struct edge
{
    int u,v,cost;
    bool operator < (const edge &a)const
    {
        return cost<a.cost;
    }
};

edge E[MAXN];
int couEdge;  //记得初始化couEdge=0，然后进行加边操作
int fa[MAXN];

int Find(int x)
{
    if(fa[x]==-1)  //important!!
        return x;
    fa[x]=Find(fa[x]);
    return fa[x];
}

int Kruskal(int n)
{
    int ans=0；
    int cou=0;  //important!! 建好子图之后，每给子图加上一条边，cou+1
    int u,v,cost,t1,t2;
    
    memset(fa,-1,sizeof(fa));  //important!!
    sort(E,E+couEdge);
    for(int i=0;i<couEdge;i++)
    {
        u=E[i].u;v=E[i].v;cost=E[i].cost;
        t1=Find(u);t2=Find(v);  //t1,t2分别代表u,v的父节点
        
        if(t1!=t2)
        {
            ans+=cost;
            fa[t1]=t2;
            cou++;
        }
        if(cou==n-1)
            break;
    }
    if(cou<n-1)
        return -1;  //表示该图不连通
    return ans;
}
//加边操作
void add_edge(int u,int v,int cost)
{
    E[couEdge].u=u;E[couEdge].v=v;E[couEdge].cost=cost;
}

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Prim算法：

      前面说了，Kruskal算法是通过树的合并来构建生成树，而现在要说的Prim算法，其本质则是，从一个顶点扩展成生成树，复杂度O（N²）。

【对比：Kruskal和Prim的异同】

            同：都是贪心思想；都是选择边权最小的边；

            异：Kruskal是优先选择边权最小的边，Prim是从点集出发选择边权最小的边；

                  //当题目中边的数量比顶点多的时候，用Prim速度比较快。

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Prim算法的基本步骤：

      1.初始化点集 V={x}；

      2.找到边（u，v）满足：u∈点集V，v不∈点集V；

      3.选取2.中满足条件的边中最小的一条加入生成树，并把v加入点集V，重复执行，直至原图所有的点都加入点集V，就得到了一棵最小生成树。

   Tips：关于如何快速找到可以添加到生成树的边：

                    可以维护一个数组lowcost[i…j]记录点集V到各个顶点的最小边，即可快速找到边，且每当有新的点加入点集V时，该数组都要更新一次。

Prim+邻接矩阵 模板如下：

const int INF=10e8;
const int MAXN=110;

bool vis[MAXN];
int lowcost[MAXN];

int Prim(int cost[][MAXN],int n)
{//输入cost[][],n；且cost[][]的初始化要注意没连通的边存INF
    int ans=0;
    int minn,k;

    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[1]=1;  //从点1开始扩展，找距离1最小的边扩展

    for(int i=1;i<=n;i++)
        lowcost[i]=cost[1][i];  //！
    for(int i=1;i<=n-1;i++)  //循环n-1次，因为vis[1]=1
    {
        minn=INF;k=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!vis[j]&&minn>lowcost[j])
            {
                minn=lowcost[j];
                k=j;
            }
        if(k==-1) break;  //不连通
        ans+=minn;vis[k]=1;  //再从k点开始扩展，准备更新lowcost[]
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!vis[j]&&lowcost[j]>cost[k][j])
                lowcost[j]=cost[k][j];
    }
    return ans;
}