拉格朗日方程

对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，拉格朗日方程通常系指第二类拉格朗日方程。

通常可写成：

式中T为系统用各广义坐标q_j和各广义速度q'_j所表示的动能；Q_j为对应于q_j的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

用拉格朗日方程解题的优点是：①广义坐标个数通常比x坐标少，即N<3n，故拉氏方程个数比直角坐标的牛顿方程个数少，即运动微分方程组的阶数较低，问题易于求解；②广义坐标可根据约束条件作适当的选择，使力学问题的运算简化，并且不必考虑约束力；③T和L都是标量，比力的矢量关系式更易表达，因此较易列出动力方程。

拉格朗日方程的三种推导方法

1 达朗贝尔原理推导

达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。

其中为惯性力，。为粒子所受外力，为符合系统约束的虚位移。

把ma当作惯性力，像求解静力平衡方程一样，求解该虚功函数就得到拉格朗日方程。

2 哈密顿原理推导

先求路径积分，再使之最小，就得到L满足的方程。

5 欧拉-拉格朗日方程推导

欧拉-拉格朗日方程可以表述为：

设有函数 和 ：

其中 是自变量。

若存在 使泛函 取得局部平稳值，则在区间 内对于所有i，皆有：

若设独立变量 为时间 ，函数 为广义坐标 ，泛函 替换为拉格朗日量 ，则可得到拉格朗日方程