显然记不住又必须记但还是记不住于是只能抄下来的结论
1.多项式暴力操作
多项式求逆：给定\(F(x)\)，求\(G(x)\)使得\(G(x)F(x)=1\)
\[g_i=-\frac{1}{f_0}\sum_{j=0}^{i-1}g_j\times f_{i-j}
\]
其中\(g_0=\frac{1}{f_0}\)。
多项式\(\ln\)：给定\(F(x)\)，保证\(f_0=1\)，求\(G(x)=\ln F(x)\)
\[g_i=f_i-\sum_{j=0}^{i-1}j\times g_j\times f_{i-j}
\]
其中\(g_0=0\)。
多项式\(\exp\)：给定\(F(x)\)，保证\(f_0=0\)，求\(G(x)=\ e^{F(x)}\)
\[g_i=\frac{1}{i}\sum_{j=1}^i j\times f_j\times g_{i-j}
\]
其中\(g_0=1\)。
2.范德蒙德行列式
\[\left |\begin{array}{cccc}
1 &1 & ... &1 \\
x_1 &x_2 &...&x_n \\
\vdots & \vdots & &\vdots\\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &...&x_n^{n-1} \\
\end{array}\right|
\]
第一行可以视为\(x_1,x_2...x_n\)的\(0\)次幂，这样的行列式的值为
\[\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)
\]
3.一些组合恒等式
\[\sum_{\sum_{i=1}^m x_i =n}\prod_{i=1}^m\binom{x_i}{k_i}=\binom{n+m-1}{m-1+\sum_{i=1}^mk_i}
\]
\[\sum_{i=0}^{\min(n,m)}\binom{n}{i}\binom{m}{i}=\sum_{i=0}^{\min(n,m)}\binom{n}{i}\binom{m}{m-i}=\binom{n+m}{m}
\]
4.奇妙位运算
\[a+b=(a|b)+(a\& b)
\]
一个集合每个数异或上\(c\)，对集合或和和与和的影响分别是
\[\cup'=(\cup\&∼c)|(c\&∼\cap)
\]
\[\cap'=(\cap\&∼c)|(c\&∼\cup)
\]
5.圆上整点个数
设\(f_d(x)\)表示在\(d\)维空间中半径为\(x\)的圆上的整点个数，则\(\frac{f_d(x)}{2d}\)为积性函数。
