[NOI2014]购票

题目

可以写出方程 ：\(dp_i= \min\{dp_j+(d_i-d_j)p_i+q_i|d_i-d_j\leq l_i\}\)

其中\(d_i\)是到根的距离。

可以将这个方程化为 \(dp_j+d_ip_i-d_jp_i+q_i = -p_id_j + dp_j+(d_ip_i+q_i)\)。

这是一个斜率优化的形式，需要维护一个下凸壳。

不难想到一个树剖+线段树维护的做法，是\(O(n\log^3n)\)的，看起来和暴力差不多；

有根树点分治，假设我们当前在处理一棵以\(x\)为根的有根树，流程大概长这个样子

• 找到重心\(nw\)

• 将重心与其儿子断开，递归处理重心所在联通块（当然，根也在这个联通块中）

• 考虑\(nw\)到\(x\)路径上的点对\(nw\)子树内部点产生的影响

• 递归处理\(nw\)的子树

在这道题中，我们将重心子树中的点都搞出来，按照\(l_i -d_i\)从小到大排序；

之后把重心到当前根上的点拿出来，按照距离排序；使用双指针，单调栈维护下凸壳。

查询的时候在凸壳上二分，复杂度是\(O(n\log^2n)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline LL read() {
	char c=getchar();LL x=0;while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=10ll*x+c-48,c=getchar();return x;
}
const double eps=1e-8;const int maxn=2e5+5;
struct E{int v,nxt;}e[maxn];
int head[maxn],fa[maxn],S,mx[maxn],rt,vis[maxn],n;
int lp,top,st[maxn],cnt,bl[maxn],num,nw,sk[maxn],sum[maxn];
LL p[maxn],q[maxn],dis[maxn],lm[maxn],w[maxn],dp[maxn];
inline void add(int x,int y) {
	e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;
}
void getrt(int x) {
	sum[x]=1;mx[x]=0;
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
		if(vis[i])continue;getrt(e[i].v);
		sum[x]+=sum[e[i].v];mx[x]=max(mx[x],sum[e[i].v]);
	}
	mx[x]=max(mx[x],S-sum[x]);if(mx[x]<mx[rt])rt=x;
}
void getdis(int x) {
	st[++top]=x;
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) 
		if(!vis[i])dis[e[i].v]=dis[x]+w[e[i].v],getdis(e[i].v);
}
inline int cop(int A,int B) {return dis[A]<dis[B];}
inline int cmp(int A,int B) {return lm[A]-dis[A]<lm[B]-dis[B];}
inline int dcmp(double a,double b){return a+eps>b&&a-eps<b;}
inline double slope(int a,int b) {
	return (double)(dp[b]-dp[a])/(double)(dis[b]-dis[a]);
}
inline void ins(int x) {
	if(nw<1) {sk[++nw]=x;return;}
	while(nw>1&&slope(sk[nw-1],x)<slope(sk[nw-1],sk[nw]))--nw;
	sk[++nw]=x;
}
inline int fid(LL k) {
	if(nw<=1)return sk[nw];
	if(slope(sk[nw-1],sk[nw])<k) return sk[nw];
	int l=1,r=nw-1,h=1;
	while(l<=r) {
		int mid=l+r>>1;double K=slope(sk[mid],sk[mid+1]);
		if(K>k||dcmp(K,k))h=mid,r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	return sk[h];
}
void solve(int x,int nsz) {
	if(nsz==1)return;
	S=nsz;rt=0;getrt(x);if(nsz==2)rt=x;int t=rt,h=rt;
	for(re int i=head[rt];i;i=e[i].nxt)vis[i]=1,nsz-=sum[e[i].v];
	solve(x,nsz);dis[t]=0;top=0;cnt=1;bl[cnt]=x;lp=1;nw=0;
	for(re int i=head[t];i;i=e[i].nxt) 
		dis[e[i].v]=w[e[i].v],getdis(e[i].v);
	while(t!=x) 
		bl[++cnt]=t,dis[fa[t]]=dis[t]+w[t],t=fa[t];
	std::sort(st+1,st+top+1,cmp);
	std::sort(bl+1,bl+cnt+1,cop);
	for(re int i=1;i<=top;i++) {
		while(lp<=cnt&&dis[bl[lp]]+dis[st[i]]<=lm[st[i]])ins(bl[lp]),++lp;
		int j=fid(-1ll*p[st[i]]);
		LL k=dp[j]+(dis[st[i]]+dis[j])*p[st[i]]+q[st[i]];
		if(j)dp[st[i]]=min(dp[st[i]],k);
	}
	for(re int i=head[h];i;i=e[i].nxt)solve(e[i].v,sum[e[i].v]);
}
int main() {
	n=read(),read();
	for(re int i=2;i<=n;i++) {
		fa[i]=read(),add(fa[i],i);w[i]=read();
		p[i]=read(),q[i]=read(),lm[i]=read();
	}
	dp[1]=0;for(re int i=2;i<=n;i++)dp[i]=1e18;
	mx[0]=n+1;solve(1,n);
	for(re int i=2;i<=n;i++)printf("%lld\n",dp[i]);
	return 0;
}