LGP5667 拉格朗日插值2

题目

套一下拉格朗日插值的公式

\[\begin{aligned} f(m+k)&=\sum_{i=0}^nf(i)\prod_{i\neq j}\frac{m+k-j}{i-j}\\ &=\sum_{i=0}^n\frac{f(i)}{i!(n-i)!(-1)^{n-i}}\frac{(m+k)^{\underline{n+1}}}{(m+k-i)}\\ &=(m+k)^{\underline{n+1}}\sum_{i=0}^n\frac{f(i)}{i!(n-i)!(-1)^{n-i}}\times \frac{1}{m+k-i} \end{aligned} \]

不难看到\(k-i\)加\(i\)是\(k\)，于是这是一个卷积的形式

构造两个函数

\[a_i=\frac{f(i)}{i!(n-i)!(-1)^{n-i}},b_i=\frac{1}{m+i} \]

但是这个\(b\)可能有负下标，我们平移一个\(n\)就好了

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
const int mod=998244353;
const int G[2]={3,(mod+1)/3};
const int maxn=6e5+5;
int n,m,len,a[maxn],b[maxn],rev[maxn],fac[maxn],ifac[maxn];
inline int dqm(int x) {return x<0?x+mod:x;}
inline int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
inline int ksm(int a,int b) {
	int S=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)if(b&1)S=1ll*S*a%mod;return S;
}
inline void NTT(int *f,int o) {
	for(re int i=0;i<len;i++)if(i<rev[i])std::swap(f[i],f[rev[i]]);
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1) {
		int ln=i>>1,og1=ksm(G[o],(mod-1)/i);
		for(re int t,og=1,l=0;l<len;l+=i,og=1)
			for(re int x=l;x<l+ln;++x) {
				t=1ll*og*f[x+ln]%mod,og=1ll*og*og1%mod;
				f[x+ln]=dqm(f[x]-t);f[x]=qm(f[x]+t);
			}
	}
	if(!o)return;int Inv=ksm(len,mod-2);
	for(re int i=0;i<len;i++) f[i]=1ll*f[i]*Inv%mod;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);for(re int i=0;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	fac[0]=ifac[0]=1;for(re int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	ifac[n]=ksm(fac[n],mod-2);for(re int i=n-1;i;--i)ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
	for(re int i=0;i<=n+n;i++) b[i]=ksm(m+i-n,mod-2);
	for(re int i=0;i<=n;i++) a[i]=1ll*a[i]*ifac[i]%mod*ifac[n-i]%mod;
	for(re int i=0;i<=n;i++) if((n-i)&1) a[i]=dqm(-a[i]);
	len=1;while(len<=n+n+n) len<<=1;
	for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
	NTT(a,0),NTT(b,0);
	for(re int i=0;i<len;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
	NTT(a,1);int nw=1;
	for(re int i=m;i>=m-n;--i) nw=1ll*nw*i%mod;
	for(re int i=0;i<=n;i++) {
		printf("%d ",1ll*a[i+n]*nw%mod);
		nw=1ll*nw*ksm(m+i-n,mod-2)%mod;
		nw=1ll*nw*(m+i+1)%mod;
	}
	return 0;
}