[THUWC2017]随机二分图

题目

orz神仙题

考虑只有\(t=0\)的时候怎么做

其实等价于求完美匹配的个数，但是我们有一个更为一般的\(dp\)可以写，设\(dp_{S,T}\)表示在一左部点里匹配的点集是\(S\)，右部点里匹配的点集是\(T\)的期望完美匹配个数

我们可以枚举一条边\((i,j)\)，表示当前匹配的边是\((i,j)\)，于是就有

\[dp_{S,T}=\sum_{i\notin S,j\notin T,(i,j)\in E}dp_{S/i,T/j}\times p_{i,j} \]

\(S/i\)表示集合\(S\)去掉\(i\)后的到的集合

但是这样求出来的东西好像不是很对，因为对于某一种完全匹配，我们按照不同的加边顺序算了多次，于是我们钦定一个加边顺序，比如先加入编号小的点，这样就不会算重

由于\(|S|=|T|\)，所以这样的复杂度是\(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\)，还是比较科学的

再来考虑\(t>0\)的情况

对于\(t=1\)的边组\((u,v,a,b)\)，我们还是先把\((a,b),(u,v)\)都加入边集出现的概率视为\(\frac{1}{2}\)；对于一组完美匹配，如果\((a,b),(u,v)\)其中之一出现在了里面，那么我们算进去的概率是\(\frac{1}{2}\)，这符合题意：但是当\((a,b),(u,v)\)都出现了，我们算的概率是\(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)，但真实的出现概率却是\(\frac{1}{2}\)

所以只有在这两条边都出现的情况下我们才会错误计算，于是我们加一条四元边\((u,v,a,b)\)，出现概率为\(\frac{1}{4}\)，这样对于一组\((a,b),(u,v)\)都出现的完美匹配，我们计算的概率就是\(\frac{1}{4}+ \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)，这样算就正确了。

同理，对于\(t=2\)的情况，我们加一条四元边\((u,v,a,b)\)出现的概率为\(-\frac{1}{4}\)即可

代码

#include <tr1/unordered_map>
#include <bits/stdc++.h>
#define re register
using namespace std::tr1;
const int mod = 1e9 + 7, inv2 = 500000004, inv4 = 250000002, _inv4 = 750000005;
unordered_map<int, int> dp, f;
inline int qm(int x) { return x >= mod ? x - mod : x; }
int se[5005], sp[5005], n, m, M;
int dfs(int s) {
    if (!s)
        return 1;
    if (f[s])
        return dp[s];
    int res = 0;
    f[s] = 1;
    for (re int i = 1; i <= M; i++)
        if ((se[i] & s) == se[i] && se[i] > s / 2)
            res = qm(res + 1ll * sp[i] * dfs(se[i] ^ s) % mod);
    // printf("%d %d\n",s,res);
    return dp[s] = res;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (re int t, u, v, a, b, i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &t, &u, &v);
        se[++M] = (1 << (u - 1)) | (1 << (v + n - 1));
        sp[M] = inv2;
        if (!t)
            continue;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        se[++M] = (1 << (a - 1)) | (1 << (b + n - 1));
        sp[M] = inv2;
        if (se[M] & se[M - 1])
            continue;//当(a,b),(u,v)有交点的时候，由于不可能同时存在于完美匹配里，所以没有必要加入四元边
        se[M + 1] = se[M] | se[M - 1];
        sp[++M] = (t == 1 ? inv4 : _inv4);
    }
    // for(re int i=1;i<=M;i++) printf("%d %d\n",se[i],sp[i]);
    printf("%d\n", 1ll * (1 << n) * dfs((1 << (n + n)) - 1) % mod);
    return 0;
}