Miller-Rabin素性测试

先挂个m67的博客保平安

众所周知，我们可以在\(O(\sqrt{n})\)的时间能准确判断一个数是否为质数，但是在很多情境下我们需要快速判断一个\(10^{18}\)级别的数是否为质数，这个时候朴素的做法就行不通了

这个时候就需要使用\(\rm Miller-Rabin\)了

主要用到两个定理

• 费马小定理：对于小于质数\(p\)的正整数\(a\)存在\(a^{p-1}\equiv 1(\mod p)\)

• 二次探测：对于\(x^2\equiv 1(\mod p)\)，当\(p\)为质数时，\(x=1\)或\(p-1\)

现在对于一个待检测的数\(n\)，我们先搞一个比它小的底数\(a\)，先求一下\(a^{n-1}(\mod n)\)的值，如果不等于1，我们可以断定这个数不是质数。但是当\(a^{n-1}\equiv 1(\mod n)\)的时候，由于费马小定理的逆命题并不成立，所以我们无法断言\(n\)就是一个素数

这个时候就需要用到二次探测了，由于\(a^{n-1}\equiv 1(\mod n)\)，如果\(n\)为素数，\(a^{\frac{n-1}{2}}\equiv 1\)或\(n-1\)；如果\(\frac{n-1}{2}\)是个偶数并且\(a^{\frac{n-1}{2}}\equiv 1(\mod n)\)，那么我们使得\(n=\frac{n-1}{4}\)继续进行二次探测；如果\(\frac{n-1}{2}\)是个奇数或\(a^{\frac{n-1}{2}}\equiv n-1(\mod n)\)，我们就不能继续探测，可以暂时认为\(n\)是一个素数

选择一个底数可能并不能准确判断，于是多选几个底数试试即可

抄的慎老师的板子

const int mb[]={2,3,5,7,61,709,2003};
inline LL mul(LL a,LL b,LL P) {
	LL S=0;if(b>a) std::swap(a,b);
	for(;b;b>>=1ll,a=(a+a)%P) if(b&1ll) S=(S+a)%P;
	return S;
}
inline LL ksm(LL a,LL b,LL P) {
	LL S=1;
	for(;b;b>>=1ll,a=mul(a,a,P)) if(b&1ll) S=mul(S,a,P);
	return S;
}
int chk(LL x,LL p,LL y) {
	LL t=ksm(x,y,p);
	if(t!=1&&t!=p-1) return 0;
	if(t==p-1) return 1;
	if(t==1&&(y%2)) return 1;
	return chk(x,p,y>>1ll);
}
inline int mr(LL n) {
	if(n<=1) return 0;
	for(re int i=0;i<7;++i) if(n==mb[i]) return 1;
	for(re int i=0;i<7;++i) if(!chk(mb[i],n,n-1)) return 0;
	return 1; 
}