uoj74 【UR #6】破解密码

题目

发现这个题的本质就是在做\(\rm hash\)

我们显然能够列出\(n\)个方程，之后高消，这是\(O(n^3)\)的

但是观察一下第一个和第二个方程

\[a_{1}26^{n-1}+a_{2}26^{n-2}+...+a_{n}26^{0}=b_1 \]

\[a_{2}26^{n-1}+a_{3}26^{n-2}+...+a_{1}26^{0}=b_2 \]

考虑让他们强行对齐一下，于是上面的方程乘\(26\)

即

\[a_{1}26^{n}+a_{2}26^{n-1}+...+a_{n}26^{1}=26b_1 \]

相互减一下，中间那些对齐的项就消没了

\[a_126^0-a_126^{n}=b_2-26b_1 \]

即\(a_1=\frac{b_2-26b_1}{1-26^n}\)，我们这样就能解出整个\(a\)了

之后发现在\(26^n\equiv 1(\rm mod\ p)\)的时候就崩了

我们发现如果\(b_1-a_1\times 26^n\equiv \frac{b_2-a_1}{26}(\rm mod\ p)\)，即\(26b_i-(1-26^n)a_1=b_{i+1}\)

因为\(26^n\equiv 1(\rm mod\ p)\)，所以这个时候\(26b_i\equiv b_{i+1}(\rm mod \ p)\)，又因为数据保证有解，所以我们只需要构造一个\(a\)，使得其满足\(a_{1}26^{n-1}+a_{2}26^{n-2}+...+a_{n}26^{0}=b_1\)即可，这样后面的自然也会满足

所以我们将\(b_1\)转成一个\(n\)位的\(26\)进制数即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int maxn=1e5+5;
int n,p,mod;
int pw[maxn],a[maxn],s[maxn];
inline int ksm(int a,int b) {
	if(a<0) a+=mod;
	int S=1;
	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) S=1ll*S*a%mod;
	return S;
}
namespace sub {
	inline void solve() {
		int x=a[0];
		for(re int i=n-1;i>=0;--i) s[i]=x%26,x/=26;
		for(re int i=0;i<n;++i) putchar(s[i]+'a');
	}
}
int main() {
	n=read(),mod=read();pw[0]=1;
	for(re int i=0;i<n;i++) a[i]=read();a[n]=a[0];
	for(re int i=1;i<=n;++i) pw[i]=1ll*pw[i-1]*26%mod;
	if(pw[n]==1) {sub::solve();return 0;}
	int Inv=ksm(1-pw[n],mod-2);
	for(re int i=1;i<=n;i++) 
		s[i-1]=1ll*(a[i]-1ll*26*a[i-1]%mod+mod)*Inv%mod;
	for(re int i=0;i<n;i++) putchar(s[i]+'a');
	return 0;
}