[WC2018]通道
三棵树真的能让人自闭
对于 \(T_1\) 边分治，处理出每个点到分治边的距离 \(dis_i\)，同时将分治边两边的点分别染为黑/白色。
在当前分治块中的点建立在 \(T_2\) 上的虚树，处理出每个点到根的路径和 \(pre_i\)。
对于 \(T_3\)，规定 \(T_3\) 上点的点权为 \(val_i=dis_i+pre_i\)。
现在的问题转化为对于虚树上的每个节点，从其子树里找两个颜色不同的点。
使得这两个点在第三棵树上距离(边权+端点点权)最大。注意到：边权非负。
那么有树上每一个点，距离其最远的点一定是树直径的端点。
维护黑色点集和白色点集的直径，根据对称性，最远的异色点对一定来自各自直径的两个端点。
需要维护同色点形成的直径，同色直径可以直接进行合并。共\(C_4^2=6\)种，大力讨论。
异色点取最大值来自两条直径四个端点有 4 中取法。
使用分裂排序和\(O(1)\)的 LCA 可以使得复杂度变为\(O(n\log n)\)
看起来比较令人自闭，但是我们注意到一个重要的条件，边权都为正，也就是说对于树上每一个点，距离其最远的点一定是树直径的端点
于是利用这个性质，我们只需要维护同色点形成的直径就好了，异色点取最大值我们直接两条直径四个端点取一下就好了；同色直径直接合并就好了，新的直径的端点只可能是原来的四个端点中的两个，共\(C_4^2=6\)种，大力讨论就好了
使用分裂排序和\(O(1)LCA\)可以使得复杂度变为\(O(n\log n)\)
代码，生涯无展开最长代码226行
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline LL read() {
char c=getchar();LL x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3ll)+(x<<1ll)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int maxn=1e5+5;
const int M=maxn*4;
std::vector<int> son[M];
std::vector<LL> v[M];
struct E{int v,nxt;LL w;}e[M<<1];
int head[M],vis[M],sum[M],Mnow,dfn[maxn];
int c[2][maxn],tp[2],col[maxn],b[maxn];
LL val[maxn],ans;
struct Route{int x,y;LL v;}dp[maxn][2];
int u[maxn][2],rl[maxn];
int n,rn,rt,num,S;
inline void add(int x,int y,LL w) {
e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;e[num].w=w;
}
void dfs1(int x,int fa) {
for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
if(e[i].v==fa) continue;
son[x].push_back(e[i].v),v[x].push_back(e[i].w);
dfs1(e[i].v,x);
}
}
inline int cmp(int A,int B) {return dfn[A]<dfn[B];}
struct Tree_3 {
struct E{int v,nxt;LL w;}e[maxn<<1];
int head[maxn],lg[maxn<<1],f[18][maxn<<1],pos[maxn];
LL pre[maxn];int deep[maxn];
int num,tot;
inline int LCA(int x,int y) {
x=pos[x],y=pos[y];
if(x>y) std::swap(x,y);
int k=lg[y-x+1];
if(deep[f[k][x]]<deep[f[k][y-(1<<k)+1]]) return f[k][x];
return f[k][y-(1<<k)+1];
}
inline void add(int x,int y,LL w) {
e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;e[num].w=w;
}
void dfs(int x) {
f[0][++tot]=x;pos[x]=tot;
for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
if(deep[e[i].v]) continue;
deep[e[i].v]=deep[x]+1;pre[e[i].v]=pre[x]+e[i].w;
dfs(e[i].v);f[0][++tot]=x;
}
}
inline LL dis(int x,int y) {
if(x==y) return 0;
return val[x]+val[y]+pre[x]+pre[y]-2ll*pre[LCA(x,y)];
}
inline void build() {
LL w;int x,y;
for(re int i=1;i<rn;i++) {
x=read(),y=read(),w=read();
add(x,y,w),add(y,x,w);
}
deep[1]=1,dfs(1);
for(re int i=2;i<=tot;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(re int j=1;j<=lg[tot];j++)
for(re int i=1;i+(1<<(j-1))<=tot;i++)
if(deep[f[j-1][i]]<deep[f[j-1][i+(1<<(j-1))]]) f[j][i]=f[j-1][i];
else f[j][i]=f[j-1][i+(1<<(j-1))];
}
}T3;
inline LL get(Route A,Route B) {
LL t1=T3.dis(A.x,B.y),t2=T3.dis(A.y,B.x);
LL t3=T3.dis(A.x,B.x),t4=T3.dis(A.y,B.y);
return max(max(t1,t2),max(t3,t4));
}
inline Route merge(Route A,Route B) {
int x,y;LL v,t;
if(A.v>B.v) x=A.x,y=A.y,v=A.v;
else x=B.x,y=B.y,v=B.v;
t=T3.dis(A.x,B.y);
if(t>v) x=A.x,y=B.y,v=t;
t=T3.dis(A.x,B.x);
if(t>v) x=A.x,y=B.x,v=t;
t=T3.dis(A.y,B.y);
if(t>v) x=A.y,y=B.y,v=t;
t=T3.dis(A.y,B.x);
if(t>v) x=A.y,y=B.x,v=t;
return (Route){x,y,v};
}
struct Virual_Tree {
struct E{int v,nxt;LL w;}e[maxn<<1];
int head[maxn],lg[maxn<<1],f[18][maxn<<1],pos[maxn];
LL pre[maxn];int deep[maxn],top,st[maxn];
int num,tot,cnt;
inline int LCA(int x,int y) {
x=pos[x],y=pos[y];
if(x>y) std::swap(x,y);
int k=lg[y-x+1];
if(deep[f[k][x]]<deep[f[k][y-(1<<k)+1]]) return f[k][x];
return f[k][y-(1<<k)+1];
}
inline void add(int x,int y,LL w) {
e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;e[num].w=w;
}
void dfs(int x) {
dfn[x]=++cnt;f[0][++tot]=x;pos[x]=tot;
for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
if(deep[e[i].v]) continue;
deep[e[i].v]=deep[x]+1;pre[e[i].v]=pre[x]+e[i].w;
dfs(e[i].v);f[0][++tot]=x;
}
}
inline void ins(int x) {
if(top<1) {st[++top]=x;return;}
int lca=LCA(st[top],x);
if(lca==st[top]) {st[++top]=x;return;}
while(top>1&&dfn[st[top-1]]>=dfn[lca])
add(st[top-1],st[top],0),top--;
if(lca!=st[top]) add(lca,st[top],0),st[top]=lca;
st[++top]=x;
}
inline void build() {
LL w;int x,y;
for(re int i=1;i<rn;i++) {
x=read(),y=read(),w=read();
add(x,y,w),add(y,x,w);
}
deep[1]=1,dfs(1);memset(head,0,sizeof(head));
for(re int i=2;i<=tot;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(re int j=1;j<=lg[tot];j++)
for(re int i=1;i+(1<<(j-1))<=tot;i++)
if(deep[f[j-1][i]]<deep[f[j-1][i+(1<<(j-1))]]) f[j][i]=f[j-1][i];
else f[j][i]=f[j-1][i+(1<<(j-1))];
for(re int i=1;i<=rn;i++) b[i]=i;
std::sort(b+1,b+rn+1,cmp);
}
inline void get_tree(int l,int r) {
num=0;top=0;
if(b[l]!=1) ins(1);
for(re int i=l;i<=r;i++) val[b[i]]+=pre[b[i]],ins(b[i]),rl[b[i]]=1;
while(top>1) add(st[top-1],st[top],0),top--;
}
void tree_dp(int x) {
if(rl[x]) {
u[x][col[x]]=1;
dp[x][col[x]].x=dp[x][col[x]].y=x;
dp[x][col[x]].v=0;
}
for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
tree_dp(e[i].v);LL t;
if(u[e[i].v][0]&&u[x][1]) t=get(dp[x][1],dp[e[i].v][0]),ans=max(ans,t-2ll*pre[x]);
if(u[e[i].v][1]&&u[x][0]) t=get(dp[x][0],dp[e[i].v][1]),ans=max(ans,t-2ll*pre[x]);
if(u[e[i].v][0]) {
if(!u[x][0]) dp[x][0]=dp[e[i].v][0];
else dp[x][0]=merge(dp[x][0],dp[e[i].v][0]);
u[x][0]=1;
}
if(u[e[i].v][1]) {
if(!u[x][1]) dp[x][1]=dp[e[i].v][1];
else dp[x][1]=merge(dp[x][1],dp[e[i].v][1]);
u[x][1]=1;
}
}
}
void del(int x) {
for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) del(e[i].v);
head[x]=val[x]=0;u[x][0]=u[x][1]=0,rl[x]=0;
}
}T2;
void getrt(int x,int fa) {
sum[x]=1;
for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
if(vis[i>>1]||e[i].v==fa) continue;
getrt(e[i].v,x);sum[x]+=sum[e[i].v];
int now=max(sum[e[i].v],S-sum[e[i].v]);
if(now<Mnow) Mnow=now,rt=i;
}
}
void dfs2(int x,int fa,int o,LL d) {
if(x<=rn) col[x]=o,val[x]=d;
for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
if(vis[i>>1]||e[i].v==fa) continue;
dfs2(e[i].v,x,o,d+e[i].w);
}
}
void solve(int x,int s,int l,int r) {
if(l>r) return;
Mnow=M,S=s,getrt(x,0);
if(Mnow==M) return;vis[rt>>1]=1;
dfs2(e[rt].v,0,0,e[rt].w),dfs2(e[rt^1].v,0,1,0);
T2.get_tree(l,r);
T2.tree_dp(1);
tp[0]=tp[1]=0;T2.del(1);
for(re int i=l;i<=r;i++) c[col[b[i]]][++tp[col[b[i]]]]=b[i];
for(re int i=l,k=1;k<=tp[0];i++,k++) b[i]=c[0][k];
for(re int i=l+tp[0],k=1;k<=tp[1];i++,k++) b[i]=c[1][k];
int now=s-sum[e[rt].v],k=rt,L=l+tp[0]-1,R=r-tp[1]+1;
solve(e[k].v,sum[e[k].v],l,L);
solve(e[k^1].v,now,R,r);
}
int main() {
rn=n=read();LL w;int s[2];
for(re int x,y,i=1;i<n;i++) {
x=read(),y=read(),w=read();
add(x,y,w),add(y,x,w);
}
dfs1(1,0);num=1;memset(head,0,sizeof(head));
for(re int i=1;i<=n;i++) {
int t=son[i].size();
if(t<=2) {
for(re int j=0;j<t;j++)
add(i,son[i][j],v[i][j]),add(son[i][j],i,v[i][j]);
continue;
}
s[0]=++n,s[1]=++n;
add(i,s[0],0),add(s[0],i,0),add(i,s[1],0),add(s[1],i,0);
for(re int j=0;j<t;j++)
son[s[j&1]].push_back(son[i][j]),v[s[j&1]].push_back(v[i][j]);
}
T2.build();T3.build();
solve(1,n,1,rn);
std::cout<<ans;
return 0;
}
