[JXOI2018]守卫

题目

首先如果\(i\)处的保镖可以监视\(j\)处\((j<i)\)，当且仅当\(\forall k\in(j,i)\)，满足\(\frac{h_i-h_j}{i-j}<\frac{h_i-h_k}{i-k}\)

于是我们可以\(O(n^2)\)处理好每对\(i,j\)是否可以监视

一个非常显然的性质，如果要监视\([l,r]\)这个区间，那么\(r\)处必须有一个保镖

我们设\(dp_{l,r}\)表示监视\([l,r]\)这个区间最少放置多少个保镖

我们考虑\(r\)可以监视的一个点\(x\)，那么\([x+1,r)\)的点都不能监视比\(x\)更靠前的点

感性理解一下就是\(x\)这个点比较高，使得后面的点看不到前面了

于是我们发现固定了右端点，那么这个点不能监视到的一些区间\([l_i,r_i]\)是相互独立的，想要监视\([l_i,r_i]\)就必须在\(r_i\)或者\(r_i+1\)处设置保镖，于是\(dp_{l,r}=1+\sum \min(dp_{l_i,r_i},dp_{l_i,r_i+1})\)

这样做是\(O(n^3)\)的，我们考虑枚举右端点，这样就可以在往前面扫的过程中维护那个\(\sum\)，从而复杂度降到了\(O(n^2)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define re register
#define db double
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
inline int read() {
    char c = getchar();
    int x = 0;
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - 48, c = getchar();
    return x;
}
const int maxn = 5e3 + 3;
int n, h[maxn];
int dp[maxn][maxn];
bool a[maxn][maxn];
int main() {
    n = read();
    for (re int i = 1; i <= n; i++) h[i] = read();
    for (re int i = 2; i <= n; i++) {
        db now = 1e20;
        for (re int j = i - 1; j; --j)
            if ((db)(h[i] - h[j]) / (i - j) < now)
                now = (db)(h[i] - h[j]) / (i - j), a[j][i] = 1;
    }
    dp[1][1] = 1;
    dp[2][2] = 1;
    dp[1][2] = 1;
    for (re int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][i] = 1;
        int sum = 0, p = i;
        for (re int j = i - 1; j; --j)
            if (a[j][i]) {
                if (!a[j + 1][i])
                    sum += min(dp[j + 1][p - 1], dp[j + 1][p]);
                dp[j][i] = 1 + sum;
                p = j;
            } else
                dp[j][i] = min(dp[j][p - 1], dp[j][p]) + sum + 1;
    }
    int ans = 0;
    for (re int i = 1; i <= n; i++)
        for (re int j = i; j; --j) ans ^= dp[j][i];
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}