【LGP4714】「数学」约数个数和

题目

众所周知，除数个数函数\(\sigma_0=I^2\)，\(I\)就是狄利克雷卷积里的\(1\)函数

于是熟悉狄利克雷卷积的话很快就能看出我们要求的就是\(I\times I^{k}\)，即\(I^{k+1}\)，我们给这个函数起一个名字叫\(f^{k+1}\)

显然这个东西是积性函数，于是我们考虑一下指数次幂的\(f\)如何求

显然

\[f^{k+1}(n)=\sum_{d|n}f^{k}(d) \]

对于指数次幂\(p^m\)

\[f^{k+1}(p^m)=\sum_{i=0}^mf^k(p^i) \]

我们考虑一下快速求\(f^{k+1}(p^m)\)，发现就是就是把这\(m\)次幂分配到\(k+1\)次减少的机会里去，当然最后不一定减少到\(0\)，于是等价于把\(m\)个球分给\(k+2\)个盒子，允许为空，插板一下得知这个是\(\binom{k+m+1}{m+1}\)，我们发现这个组合数非常好算，于是直接暴力就好了，由于又是积性函数，我们分解质因数之后直接合并就可以了

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define min std::min
#define LL long long
const int maxn=1e7+5;
const int mod=998244353;
int f[maxn],p[maxn>>2],inv[505];
LL n,m;int T,ans=1;
inline int C(LL n,int m) {
	int now=1;
	for(re int i=n;i>=n-m+1;--i) now=1ll*now*(i%mod)%mod;
	for(re int i=1;i<=m;i++) now=1ll*now*inv[i]%mod;
	return now;
}
int main() {
	scanf("%lld%lld",&n,&m);inv[1]=1;
	for(re int i=2; i<505; i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	f[1]=1;T=std::sqrt(n)+1;T=min(T,maxn-1);
	for(re int i=2;i<=T;i++) {
		if(!f[i]) p[++p[0]]=i;
		for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=T;j++) {
			f[p[j]*i]=1;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
	p[++p[0]]=1e9+7,p[++p[0]]=998244353,p[++p[0]]=1e9+9;
	for(re int i=1;i<=p[0];i++) {
		int t=0;
		while(n%p[i]==0) n/=p[i],t++;
		if(!t) continue;
		ans=1ll*ans*C((t+m+1)%mod,t)%mod;
	}
	if(n!=1) ans=1ll*ans*C(m+2,1)%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}