[SHOI2011]双倍回文

题目

回文自动机的板子题啦

还是先胡扯几句回文自动机是如何构建的吧，这个东西比\(SAM\)可是简单多了

回文自动机就是一棵树，树上每一个节点表示了一个回文串，由于一个字符串本质不同的回文子串个数不会超过字符串串长，所以回文树上总结点个数是线性的

这个回文自动机由下面几个东西构成

1. \(fail[x]\)，就是\(x\)这个节点的失配指针，指向\(x\)表示的回文串的最长回文后缀

2. \(son[x][c]\)，就是在\(x\)表示的回文串左右两边加上一个字符\(c\)得到的回文串

3. \(len[x]\)，就是\(x\)表示的回文串的长度

和\(SAM\)一样，回文自动机也是动态往自动机里插入一个字符

类似马拉车，我们插入\(i\)这个字符只会更新在\(i\)位置结束的最长回文子串

设\(i-1\)这个前缀的最长回文后缀是\(f\)，我们要插入的字符是\(c\)，如果\(k\)前面恰好也有一个\(c\)，我们就可以直接插入了

如果前面不是\(c\)，我们就跳一下\(fail[f]\)看看最长的回文后缀前面是否有\(c\)，不然就继续跳，直到有\(c\)为止

设我们跳到的位置为\(f\)，如果\(f\)有\(c\)这个转移，说明这个回文后缀在之前已经出现过了，我们没有必要再插入了

如果没有\(c\)的转移，我们就需要插入一个节点了

设这个节点是\(p\)，显然\(len[p]=len[f]+2\)，因为\(p\)是\(f\)左右两边各接上一个\(c\)得来的

之后考虑\(p\)的\(fail\)，\(fail\)必须是一个真后缀，所以我们跳一下使得\(k=fail[f]\)，之后继续跳\(fail\)使得\(k\)前面有一个\(c\)就好了，我们的\(fail[p]=son[k][c]\)

最后记得更新一下当前\(i\)前缀的最长回文后缀是\(son[f][c]\)

inline void ins(int c,int n) {
	int f=lst;
	while(S[n-len[f]-1]!=S[n]) f=fa[f];
	if(!son[f][c]) {
		int p=++cnt,k=fa[f];len[p]=len[f]+2;
		while(S[n-len[k]-1]!=S[n]) k=fa[k];
		fa[p]=son[k][c];son[f][c]=p;
	}
	lst=son[f][c];
}

这就是回文树插入的板子啦

实现的时候有几个小\(trick\)，就是这一句

len[1]=-1;fa[0]=1;cnt=1;

我们给回文树搞了两个根节点，\(0\)代表偶回文串，\(1\)表示奇回文串，我们发现\(fa[0]=1\)，这样我们一直匹配不上的时候就会跳到\(1\)，显然\(S[n]+1-1=S[n]\)，于是我们就强行配上了

至于这道题，我们首先发现我们要求的串肯定是一个回文串，且这个回文串可以被分成\(4\)等份，于是\(len\%4=0\)

之后由于这个回文串还能被分成回文的两部分，所以这个回文串必然有一个长度为\(len/2\)的回文后缀

这不动物园吗

我们把\(fail\)树建出来，之后在上面瞎搞就好了

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
const int maxn=5e5+5;
struct E{int v,nxt;}e[maxn];
int n,lst,num,cnt,head[maxn],ans,to[maxn];
char S[maxn];
int son[maxn][26],fa[maxn],len[maxn];
inline void add(int x,int y) {
	e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;
}
inline void ins(int c,int n) {
	int f=lst;
	while(S[n-len[f]-1]!=S[n]) f=fa[f];
	if(!son[f][c]) {
		int p=++cnt,k=fa[f];len[p]=len[f]+2;
		while(S[n-len[k]-1]!=S[n]) k=fa[k];
		fa[p]=son[k][c];son[f][c]=p;add(fa[p],p);
	}
	lst=son[f][c];
}
void dfs(int x,int t) {
	while(x!=t&&len[to[t]]*2<=len[x]&&to[t]!=x) t=to[t];
	if(x!=t&&len[x]%4==0&&(len[t]<<1)==len[x]&&len[x]>ans) ans=len[x]; 
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) 
		to[x]=e[i].v,dfs(e[i].v,t);
}
int main() {
	scanf("%d",&n);scanf("%s",S+1);
	for(re int i=0;i<=n;i++) S[i]-='a';
	len[1]=-1;fa[0]=1;cnt=1;add(1,0);
	for(re int i=1;i<=n;i++) ins(S[i],i);
	dfs(1,1);printf("%d\n",ans);
	return 0;
}