【bzoj4543】[POI2014]Hotel加强版

题目

抄题解.jpg

发现原来的\(O(n^2)\)的换根\(dp\)好像行不通了呀

我们考虑非常牛逼的长链剖分

我们

设\(f(x,j)\)表示在\(x\)的子树中距离\(x\)为\(j\)的点有多少个，\(g(x,j)\)表示在\(x\)的子树里，满足如下条件的点对\((u,v)\)的个数:

1. 设\(k=LCA(u,v)\)，满足\(dis(u,k)=dis(v,k)=d\)

2. 满足\(dis(k,x)=d-j\)

我们发现可以如果\(v\)是\(x\)的儿子，那么距离\(v\)为\(j-1\)的点和\(x\)的距离就是\(j\)，那么到\(k\)的距离就是\(d-j+j=d\)，和点对到\(k\)的距离相等

对答案有以下两种贡献，两个点在 \(v\) 之前的子树中，一个点在子树 \(v\) 中：

\[ans+=f[v][j-1]\times g[x][j] \]

一个点在 \(v\) 之前的子树中，两个点在子树 \(v\) 中：

\[ans+=f[x][j-1]\times g[v][j] \]

\(f\)的求法比较简单啊，即\(f(x,j)+=f(v,j-1)\)，这个我们可以用长链剖分优化到 \(O(n)\).

之后是\(g\)的求法

首先我们有\(g(x,j)+=g(v,j+1)\)，就是到\(x\)距离为\(d-j\)的\(k\)到\(v\)的距离必然是\(d-j-1\)，这里我们也可以直接长链剖分.

之后\(g(x,j+1)+=f(x,j+1)\times f(v,j)\)，这样产生的点对的\(LCA\)就是\(x\)，到\(x\)的距离也就是\(j+1\)，符合条件，这里直接暴力转移就好了.

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn=100006;
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||x>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
struct E{int v,nxt;}e[maxn<<1];
int head[maxn],len[maxn],n,num,son[maxn],deep[maxn];
LL tax[maxn*6],*id=tax,*f[maxn],*g[maxn],ans;
inline void add(int x,int y) {
    e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;
}
void dfs1(int x) {
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if(deep[e[i].v]) continue;
        deep[e[i].v]=deep[x]+1;
        dfs1(e[i].v);
        if(len[e[i].v]>len[son[x]]) son[x]=e[i].v;
    }
    len[x]=len[son[x]]+1;
}
void dfs(int x) {
    f[x][0]=1;
    if(son[x]) {
        g[son[x]]=g[x]-1;
        f[son[x]]=f[x]+1;
        dfs(son[x]);
    }
    ans+=g[x][0];
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if(deep[e[i].v]<deep[x]||son[x]==e[i].v) continue;
        f[e[i].v]=id;id+=len[e[i].v]+1;
        g[e[i].v]=id+len[e[i].v]+1;id+=2*len[e[i].v]+2;
        dfs(e[i].v);
        for(re int j=len[e[i].v];j>=0;--j) {
            if(j) ans+=f[x][j-1]*g[e[i].v][j];
            ans+=g[x][j+1]*f[e[i].v][j];
            g[x][j+1]+=f[e[i].v][j]*f[x][j+1];
        }
        for(re int j=0;j<=len[e[i].v];j++) {
            if(j) g[x][j-1]+=g[e[i].v][j];
            f[x][j+1]+=f[e[i].v][j];
        }
    }
}
int main() {
    n=read();
    for(re int x,y,i=1;i<n;i++) 
        x=read(),y=read(),add(x,y),add(y,x);
    deep[1]=1;dfs1(1);
    f[1]=id;id+=len[1]+1;
    g[1]=id+len[1]+1;//由于我们继承重儿子是g[son[x]]=g[x]-1,所以得在这个指针前面留一些空位置来让后面的状态继承
    id+=2*len[1]+2;
    dfs(1);printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}