【bzoj 2839】集合计数

权限题

根据广义容斥的套路就很好做了

设\(g_i\)表示交集至少有\(i\)个元素，\(f_i\)表示交集恰好有\(i\)个元素

显然有

\[g_i=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}f_j \]

二项式反演可得

\[f_i=\sum_{j=i}^n(-1)^{j-i}\binom{j}{i}g_j \]

我们求得就是\(f_k\)

我们考虑\(g\)如何求

我们先从\(n\)个元素里选择\(j\)个元素作为我们的交集，这里是\(\binom{n}{j}\)，之后对于剩下的\(n-j\)个元素构成的\(2^{n-j}\)个子集我们从里面任意选择一些，之后并上这\(j\)个元素就可以了

于是\(g_j=2^{2^{n-j}}\)，就是\(2^{n-j}\)个子集都可以选或者不选

记得指数上对\(mod-1\)取模

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn=1000005;
const LL mod=1000000007;
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
LL fac[maxn],inv[maxn],pw[maxn];
int n,k;
inline LL ksm(LL a,int b) {
	LL S=1;
	while(b) {if(b&1) S=S*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}
	return S;
}
inline LL C(int n,int m) {
	if(m>n) return 0;
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main() {
	n=read(),k=read();
	fac[0]=1;
	for(re int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(1ll*i*fac[i-1])%mod;
	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
	for(re int i=n-1;i>=0;--i) inv[i]=(1ll*(i+1)*inv[i+1])%mod;
	pw[0]=1;
	for(re int i=1;i<=n;i++) pw[i]=(2ll*pw[i-1])%(mod-1);
	LL ans=0;
	for(re int i=k;i<=n;i++) {
		LL g=C(n,i)*ksm(2,pw[n-i])%mod;
		if((i-k)&1) ans=(ans-C(i,k)*g%mod+mod)%mod;
			else ans=(ans+C(i,k)*g%mod)%mod;
	}
	printf("%d\n",(int)ans);
	return 0;
}