【51nod 1514】 美妙的序列

题目

我们发现我们得正难则反

还是设\(f_i\)表示长度为\(i\)的序列个数

考虑容斥

\[f_i=i!-\sum_{j=1}^{i-1}f_j(i-j)! \]

\(i!\)显然是总方案数，我们减掉不合法的方案数，显然\(1\)到\(j\)这些数强行合法，之后\(j+1\)到\(i\)在后面自由排列，由于在\(j\)后面这个位置没有一个数比之前的小，所以一定不合法，同时通过首次不合法的位置区分开不同的序列，从而做到不重不漏

但是上面有一个小问题就是\(f_0=0\)，但是按照上面的递推数列来推会造成\(f_0=1\)

于是应该写成

\[f_i=i!-\sum_{j=1}^{i-1}f_j(i-j)!-[i=0] \]

也就是

\[\sum_{j=1}^if_j(i-j)!=i!-[i=0] \]

设阶乘的生成函数是\(G(x)\)

就有

\[F(x)\times G(x)=G(x)-1 \]

\[F(x)=\frac{G(x)-1}{G(x)}=1-\frac{1}{G(x)} \]

也就是对阶乘求一个逆

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn=261244+1005;
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const LL G[2]={3,332748118};
const LL mod=998244353;
LL fac[maxn],K[maxn],D[maxn],C[maxn],A[maxn],B[maxn];
int n,rev[maxn],ask[maxn],len,T;
inline LL ksm(LL a,LL b) {LL S=1;while(b) {if(b&1) S=S*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return S;}
inline void NTT(LL *f,int o) {
	for(re int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) std::swap(f[i],f[rev[i]]);
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1) {
		int ln=i>>1;LL og1=ksm(G[o],(mod-1)/i);
		for(re int l=0;l<len;l+=i) {
			LL t,og=1;
			for(re int x=l;x<l+ln;x++) {
				t=(og*f[ln+x])%mod;
				f[ln+x]=(f[x]-t+mod)%mod;
				f[x]=(f[x]+t)%mod;
				og=(og*og1)%mod;
			}
		}
	}
	if(!o) return;
	LL inv=ksm(len,mod-2);
	for(re int i=0;i<len;i++) f[i]=(f[i]*inv)%mod;
}
inline void mul(int n,LL *A,LL *B) {
	len=1;while(len<n+n) len<<=1;
	for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
	NTT(A,0),NTT(B,0);for(re int i=0;i<len;i++) A[i]=(A[i]*B[i])%mod;
	NTT(A,1);for(re int i=n;i<len;i++) A[i]=0;
}
inline void Inv(int n,LL *A,LL *B) {
	if(n==1) {B[0]=ksm(A[0],mod-2);return;}
	Inv((n+1)>>1,A,B);
	memset(C,0,sizeof(C));memset(D,0,sizeof(D));memset(K,0,sizeof(K));
	for(re int i=0;i<n;i++) C[i]=K[i]=B[i],D[i]=A[i];
	mul(n,C,K);mul(n,C,D);
	for(re int i=0;i<n;i++) B[i]=(2ll*B[i]-C[i]+mod)%mod;
}
int main() {
	T=read();
	for(re int i=1;i<=T;i++) 
		ask[i]=read(),n=max(n,ask[i]+1);
	A[0]=1;for(re int i=1;i<n;i++) A[i]=(A[i-1]*1ll*i)%mod;
	Inv(n,A,B);
	for(re int i=0;i<n;i++) B[i]=(mod-B[i])%mod;B[0]++;
	for(re int i=1;i<=T;i++) printf("%lld\n",B[ask[i]]); 
	return 0;
}