[国家集训队]整数的lqp拆分
设我们要求的是\(g_n\)
我们强行定义\(g_0=1\)
于是就有
\[g_i=\sum_{j=0}^{i-1}fib_{j}g_{i-j}
\]
就是新枚举一个\(j\)，通过一个分配率和在原来的答案上更进一步
于是这个数列的生成函数就是
\[\begin{aligned} G(x)=&\sum_{i=0}(\sum_{j=0}^{i-1}fib_jg_{i-j}+[i=0])x^i\\&=1+\sum_{i=0}(\sum_{j=0}^{i-1}fib_jg_{i-j})x^i\\&=1+\sum_{i=0}\sum_{j=0}^{i-1}fib_{j}x_j\times g_{i-j}x^{i-j}\end{aligned}
\]
发现里面是\(fib\)的生成函数卷上\(G(x)\)
设
\[F(x)=\sum_{i=0}fib_ix^i=\frac{x}{1-x-x^2}
\]
于是就有
\[G(x)=1+G(x)F(x)
\]
解得
\[G(x)=\frac{1-x-x^2}{1-2x-x^2}=\frac{1-2x-x^2+x}{1-2x-x^2}=1+\frac{x}{1-2x-x^2}
\]
发现多出来的那个常数项是我们强行使得\(g_0=1\)的结果，不管它就好了
强行处理后面的\(\frac{x}{1-2x-x^2}\)
我们发现分母上可以被因式分解一下
\[\frac{x}{1-2x-x^2}=\frac{x}{(1-(1-\sqrt{2})x)(1-(1+\sqrt{2})x)}
\]
你说怎么搞这个因式分解，你把\(1-\sqrt{2}\)设成\(\frac{a\pm\sqrt{b}}{c}\)的形式
就会发现
\[\frac{a+\sqrt{b}}{c}\times \frac{a-\sqrt{b}}{c}=\frac{a^b-b}{c^2}=-1
\]
\[-(\frac{a+\sqrt{b}}{c}+ \frac{a-\sqrt{b}}{c})=-2
\]
根据下面那个式子我们可以发现\(a=c\)
于是上面那个式子就是\(2a^2-b=0\)，我们发现只需要使得\(a=1,b=2\)就可以了
于是我们就又需要来拆掉这个式子
至于这个如何去拆，我们可以继续列方程
设上面那个式子等于
\[\begin{aligned}&\frac{a}{1-(1-\sqrt{2})x}+\frac{b}{1-(1+\sqrt{2})x}\\&=\frac{a(1-(1+\sqrt{2})x)+b(1-(1-\sqrt{2})x)}{(1-(1-\sqrt{2})x)(1-(1+\sqrt{2})x)}\\&=\frac{a-ax-a\sqrt{2}x+b-bx+b\sqrt{2}x}{(1-(1-\sqrt{2})x)(1-(1+\sqrt{2})x)}\end{aligned}
\]
我们知道上面那一大坨东西应该等于\(x\)
于是
\[a-ax-a\sqrt{2}x+b-bx+b\sqrt{2}x=x
\]
由于没有常数项，于是\(a=-b\)
也就有
\[-a\sqrt{2}x+b\sqrt{2}x=x
\]
解得\(a=-\frac{1}{2\sqrt{2}},b=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)，我们\(a,b\)放到外面就好了
可以拆成
\[-\frac{\sqrt{2}}{4}\times\frac{1}{1-(1-\sqrt{2})x}+\frac{\sqrt{2}}{4}\times \frac{1}{1-(1+\sqrt{2})x}
\]
发现有两个诸如\(\frac{1}{1-cx}\)的生成函数，这就是一个公比为\(c\)的等比数列
于是我们就可以推出通项
\[g_n=-\frac{\sqrt{2}}{4}\times (1-\sqrt{2})^n+\frac{\sqrt{2}}{4}\times(1+\sqrt{2})^n
\]
由于我比较菜，不会二次剩余，可以写个暴力求一下\(x^2 \equiv 2(mod\ 1e9+7)\)，发现\(x=59713600\)
根据通项就可以求了，就是一个快速幂的事
#include<cstdio>
#define LL long long
const LL mod=1e9+7;
const LL Sqr=59713600;
const LL Inv=250000002;
LL n;
inline LL ksm(LL a,LL b) {LL S=1;while(b) {if(b&1) S=S*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return S;}
int main() {
scanf("%lld",&n);
printf("%lld\n",((ksm(1+Sqr,n)*Sqr%mod*Inv%mod-ksm(1-Sqr+mod,n)*Sqr%mod*Inv)%mod+mod)%mod);
}
