「bzoj 4180: 字符串计数」

题目

真是一道好题

首先根据一个非常显然的贪心，如果给出了一个串\(S\)，我们如何算最小操作次数呢

非常简单，我们直接把\(S\)拉到\(T\)的\(SAM\)上去跑，如果跑不动了就停下来，重新回到\(1\)继续跑

于是我们建出一个\(SAM\)之后可以写一个这样的暴力，设\(d[i][j][k]\)表示从\(i\)点到\(j\)点走\(i\)条边的最长路，对于那些走不动的边，我们可以接到\(1\)号节点对应的出边上去，边权为\(1\)，其余的边权为\(0\)，矩阵优化一下就是\(O(|T|^3logn)\)的复杂度

显然\(|T|\)并不允许我们开下如此之大的转移矩阵，尝试换一个角度来考虑这个问题

我们发现我们问题的本质就是最大化最小值，这是不是可以二分一下呢

于是现在的问题变成了对于一个二分出的操作次数\(mid\)，判断答案是否能够更大

显然我们如果使用\(mid\)此操作构造出来的串长度小于\(n\)，那么我们就可以断定答案可能会更大一些

于是又把问题转化成了利用\(mid\)次操作构造出来的字符串的最小长度

这个如何求呢，我们考虑一次操作无非就是从\(1\)的某一个出边指向的节点到另一个\(1\)的出边指向的节点，所以我们求出这些节点两两之间的最短路就好了

于是我们现在又可以利用矩阵转移了，复杂度\(O(|T|+|c|^3log^2n)\),\(|c|\)为字符集大小

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define LL long long
#define re register
#define inf 922337203685477580
#define maxn 200005
LL n;
char S[maxn>>1];
int m,lst=1,cnt=1,tot;
int len[maxn],fa[maxn],son[maxn][4],q[maxn],vis[maxn],c[maxn];
LL a[4][4],ans[4][4],t[4][4],d[maxn];
inline void ins(int c) {
	int p=++cnt,f=lst;lst=p;
	len[p]=len[f]+1;
	while(f&&!son[f][c]) son[f][c]=p,f=fa[f];
	if(!f) {fa[p]=1;return;}
	int x=son[f][c];
	if(len[f]+1==len[x]) {fa[p]=x;return;}
	int y=++cnt;len[y]=len[f]+1;
	fa[y]=fa[x],fa[x]=fa[p]=y;
	son[y][0]=son[x][0];son[y][1]=son[x][1];
	son[y][2]=son[x][2];son[y][3]=son[x][3];
	while(f&&son[f][c]==x) son[f][c]=y,f=fa[f];
}
inline void did_t() {
	LL mid[4][4];
	for(re int i=0;i<4;i++)
		for(re int j=0;j<4;j++) mid[i][j]=t[i][j],t[i][j]=inf;
	for(re int k=0;k<4;k++)
		for(re int i=0;i<4;i++)
			for(re int j=0;j<4;j++)
				t[i][j]=min(t[i][j],mid[i][k]+mid[k][j]);
}
inline void did_ans() {
	LL mid[4][4];
	for(re int i=0;i<4;i++)	
		for(re int j=0;j<4;j++) mid[i][j]=ans[i][j],ans[i][j]=inf;
	for(re int k=0;k<4;k++)	
		for(re int i=0;i<4;i++)
			for(re int j=0;j<4;j++)
				ans[i][j]=min(ans[i][j],mid[i][k]+t[k][j]);
}
inline LL solve(LL now) {
	for(re int i=0;i<4;i++)
		for(re int j=0;j<4;j++) t[i][j]=a[i][j],ans[i][i]=inf;
	for(re int i=0;i<4;i++) ans[i][i]=0;
	LL b=now;
	while(now) {if(now&1ll) did_ans();now>>=1ll;did_t();}
	LL tmp=inf;
	for(re int i=0;i<4;i++)
		for(re int j=0;j<4;j++) tmp=min(tmp,ans[i][j]);
	return tmp+b;
}
inline int check(LL now) {return solve(now)<=n;} 
int main() {
	scanf("%lld",&n);scanf("%s",S+1);m=strlen(S+1);
	for(re int i=1;i<=m;i++) ins(S[i]-'A');
	for(re int i=0;i<4;i++)
		for(re int j=0;j<4;j++) a[i][j]=inf;
	for(re int i=0;i<4;i++) {
        tot=0;q[++tot]=son[1][i];
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(d,20,sizeof(d));d[q[1]]=0;
        for(re int j=1;j<=tot;j++) {
            int x=q[j];
            for(re int k=0;k<4;k++) {
                if(vis[son[x][k]]) continue;
                if(!son[x][k]) a[i][k]=min(a[i][k],d[x]);
                else vis[son[x][k]]=1,d[son[x][k]]=d[x]+1,q[++tot]=son[x][k];
            }
        }
    }
	LL l=1,r=n,ans=0;
	while(l<=r) {
		LL mid=l+r>>1ll;
		if(check(mid)) l=mid+1,ans=mid;
			else r=mid-1;
	}
	if(solve(ans)<n) ans++;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}