[NOI2007]货币兑换
先来画一画柿子
设\(dp_i\)表示你第\(i\)天之后最多剩下多少钱
考虑一下对于\(i\)的转移，我们肯定要在之前枚举一天\(j\)这一天把所有的东西买进来，之后在\(i\)天卖掉
设那天买进\(A\)的量为\(d_a\)，买进\(B\)的量为\(d_b\)
我们可以得到这样的方程
\[d_ap_a+d_bp_b=dp_j
\]
\[d_a:d_b=R_j:1
\]
来愉快的解方程吧
\[d_a=d_bR_j
\]
\[R_jd_bp_a+d_bp_b=dp_j
\]
\[d_b(R_jp_a+p_b)=dp_j
\]
\[d_b=\frac{dp_j}{R_jp_a+p_b}
\]
\[d_a=\frac{dp_jR_j}{R_jp_a+p_b}
\]
那么我们从\(i\)天卖出收益就是
\[dp_i=p_{a,i}\frac{dp_jR_j}{R_jp_{a,j}+p_{b,j}}+p_{b,i}\frac{dp_j}{R_jp_{a,j}+p_{b,j}}
\]
那就是求一个点积最大值啊
考虑凸壳来优化
\[dp_i=p_ad_a+p_bd_b
\]
\[\frac{dp_i}{p_b}=\frac{p_a}{p_b}d_a+d_b
\]
\[-\frac{p_a}{p_b}d_a+\frac{dp_i}{p_b}=d_b
\]
斜率为\(-\frac{p_a}{p_b}\)的直线去卡凸壳上的点，最大化一个截距就好了
由于什么也不单调，选择用\(CDQ\)分治来维护这个\(dp\)
代码
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
# include <cmath>
#define maxn 100005
#define re register
#define LL long long
#define double double
#define eps 1e-10
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
int n,h=1,t,q[maxn];
double pa[maxn],pb[maxn],ra[maxn];
struct Node{int rk;double x,y;}a[maxn];
double dp[maxn],X[maxn],Y[maxn];
inline int cmp(Node A,Node B) {return A.x<B.x;}
inline int cop(Node A,Node B) {return A.rk<B.rk;}
inline int check(double x,double y) {if(fabs(x-y)<eps) return 1;return 0;}
inline int K(int e,int f,int g,int h) {
if(check(X[g],X[h])&&check(X[f],X[e])) return Y[h]-Y[g]>Y[f]-Y[e]+eps;
if(check(X[g],X[h])) return Y[h]-Y[g]>-eps;
if(check(X[e],X[f])) return Y[e]-Y[f]<eps;
double a1=Y[f]-Y[e],a2=Y[h]-Y[g];
double b1=X[f]-X[e],b2=X[h]-X[g];
return b2*a1-eps<a2*b1;
}
inline int KK(int e,int f,double a2,double b2) {
double a1=Y[f]-Y[e],b1=X[f]-X[e];
return b2*a1+eps<a2*b1;
}
inline void ins(int x) {
while(h<t&&K(q[t-1],q[t],q[t-1],x)) --t;
q[++t]=x;
}
inline int find(double a2,double b2)
{
if(h==t) return q[t];
if(h==t-1)
{
if(KK(q[h],q[t],a2,b2)) return q[h];
return q[t];
}
int l=h,r=t;
while(l<=r)
{
if(l==r-1)
{
if(KK(q[l],q[r],a2,b2)) return q[l];
return q[r];
}
int mid=l+r>>1;
if(mid+1>r) break;
if(KK(q[mid],q[mid+1],a2,b2)) r=mid;
else l=mid+1;
}
return q[l];
}
void CDQ(int l,int r) {
if(l==r) {
dp[l]=max(dp[l-1],dp[l]);
a[l].y=Y[l]=dp[l]/(ra[l]*pa[l]+pb[l]);
a[l].x=X[l]=Y[l]*ra[l];
return;
}
int mid=l+r>>1;
CDQ(l,mid);std::sort(a+l,a+mid+1,cmp);h=1,t=0;
for(re int i=l;i<=mid;i++) ins(a[i].rk);
for(re int i=mid+1;i<=r;i++) {
int x=find(-1.0*pa[i],pb[i]);
dp[i]=max(pa[i]*X[x]+pb[i]*Y[x],dp[i]);
}
CDQ(mid+1,r);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);double T;scanf("%lf",&T);dp[1]=T;
for(re int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%lf",&T);pa[i]=T;
scanf("%lf",&T);pb[i]=T;
scanf("%lf",&T);ra[i]=T;
}
for(re int i=1;i<=n;i++) a[i].rk=i;
CDQ(1,n);
printf("%.3lf\n",(double)dp[n]);
return 0;
}
