【[SDOI2017]新生舞会】

题目

好题啊

我们要求的是

\[C=\frac{\sum_{i=1}^na_i}{\sum_{i=1}^nb_i} \]

使得\(C\)最大

显然

\[C\times \sum_{i=1}^nb_i=\sum_{i=1}^na_i \]

这个问题自然不好解决，我们尝试将其转化为一个判定性问题

对于我们二分出来的一个答案\(C\)，我们判断是否存在一个更大的\(C\)

如果存在一个更大的\(C\)，那么上面的柿子就会变成

\[\sum_{i=1}^nC\times b_i<\sum_{i=1}^na_i \]

这样的话比值自然就大于\(C\)了

在化一下上面的柿子

\[\sum_{i=1}^na_i-\sum_{i=1}^nC\times b_i>0 \]

\[\sum_{i=1}^na_i-C\times b_i>0 \]

这样的话我们把转移边的边权设成\(a_{i,j}-C\times b_{i,j}\)之后来一遍最大费用最大流就好了，如果费用大于\(0\)，那么当前的\(C\)就还能更大

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define maxn 205
#define eps 1e-8
#define re register
#define LL long long
#define inf 999999999
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
	return x;
}
int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
int num=1,n,S,T;
double d[maxn];
int head[maxn],vis[maxn];
struct E{int v,nxt,f;double w;}e[maxn*maxn];
inline void add(int x,int y,int ca,double z){e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];e[num].f=ca,e[num].w=z;head[x]=num;}
inline void C(int x,int y,int ca,double z){z*=-1.0;add(x,y,ca,z);add(y,x,0,-1.0*z);}
inline int SPFA()
{
	std::queue<int> q;
	for(re int i=S;i<=T;i++) vis[i]=0,d[i]=inf;
	vis[T]=1,d[T]=0,q.push(T);
	while(!q.empty())
	{
		int k=q.front();q.pop();vis[k]=0;
		for(re int i=head[k];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i^1].f&&d[e[i].v]>d[k]+e[i^1].w)
		{
			d[e[i].v]=d[k]+e[i^1].w;
			if(!vis[e[i].v]) vis[e[i].v]=1,q.push(e[i].v);
		}
	}
	return d[S]<inf;
}
int dfs(int x,int now)
{
	if(x==T||!now) return now;
	int flow=0,ff;vis[x]=1;
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	if(!vis[e[i].v]&&e[i].f&&d[x]+e[i^1].w==d[e[i].v])
	{
		ff=dfs(e[i].v,min(now,e[i].f));
		if(ff<=0) continue;
		e[i].f-=ff,e[i^1].f+=ff;
		now-=ff,flow+=ff;
		if(!now) break;
	}
	return flow;
}
inline int check(double mid)
{
	num=1;
	memset(e,0,sizeof(e));
	for(re int i=S;i<=T;i++) head[i]=0;
	for(re int i=1;i<=n;i++) C(S,i,1,0);
	for(re int i=1;i<=n;i++) C(i+n,T,1,0);
	for(re int i=1;i<=n;i++)
		for(re int j=1;j<=n;j++)
			C(i,j+n,1,(double)((double)a[i][j]-(double)b[i][j]*mid));
	double ans=0;
	while(SPFA())
	{
		vis[T]=1;
		while(vis[T])
		{
			for(re int i=S;i<=T;i++) vis[i]=0;
			int F=dfs(S,inf);
			ans-=(double)F*d[S];
		}
	}
	return ans>0;
}
int main()
{
	n=read();
	for(re int i=1;i<=n;i++)
		for(re int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=read();
	for(re int i=1;i<=n;i++)
		for(re int j=1;j<=n;j++) b[i][j]=read();
	T=n+n+1;
	double l=0,r=1e4;
	while(r-l>eps)
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) l=mid;
			else r=mid;
	}
	printf("%.6lf\n",r);
	return 0;
}