【[HNOI2015]亚瑟王】

神仙题，抄题解

用\(tp_i\)表示\(i\)这个技能在\(r\)轮中被使用过的概率

于是最后的答案就是\(\sum_{i=1}^nd_i*tp_i\)

首先\(tp_1=1-(1-p_1)^r\)，也就是连续\(r\)轮都没有使用的概率

之后往下的\(tp\)靠\(dp\)来求

设\(dp_{i,j}\)表示在一共\(r\)轮里，前\(i\)个恰好有\(j\)个被发动的概率

那么

\[tp_i=1-\sum_{j=0}^rdp_{i-1,j}*(1-p_i)^{r-j} \]

还是先算一下这个技能一直都没有发动的概率，如果前面有\(j\)个技能使用了，那么那对应的轮次是一定不会使用当前技能的，剩下的轮次，也就是\(r-j\)轮我们让其不发动就好了

之后是\(dp_{i,j}\)的转移

如果这一个技能并没有发动，那么就从\(dp_{i-1,j}\)转移过来

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j}*(1-p_i)^{r-j} \]

如果这个技能发动了，那么就需要从前面的\(dp_{i-1,j-1}\)转移

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}*(1-(1-p_i)^{r-j+1}) \]

我们还是先令技能\(i\)不发动，那么前面就会有\(r-j+1\)个轮次可能发动，我们都让其不发动，之后拿\(1\)减掉，就是发动的概率了

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define re register
#define maxn 225
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
double dp[maxn][maxn];
double p[maxn];
int d[maxn],n,T,m;
double tp[maxn];
inline double quick(double a,int b)
{
	double S=1.0;
	while(b) {if(b&1) S*=a;b>>=1,a*=a;}
	return S;
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(p,0,sizeof(p));
		memset(tp,0,sizeof(tp)),
		memset(d,0,sizeof(d));
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(re int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);
		dp[1][0]=quick((1-p[1]),m);
		dp[1][1]=1-dp[1][0];
		tp[1]=dp[1][1];
		for(re int i=2;i<=n;i++)
		{
			for(re int j=0;j<=min(i-1,m);j++)
				tp[i]+=dp[i-1][j]*quick((1-p[i]),m-j);
			tp[i]=1-tp[i];
			for(re int j=0;j<=min(i,m);j++)
			{
				dp[i][j]=dp[i-1][j]*quick((1-p[i]),m-j);
				if(j) dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*(1-quick((1-p[i]),m-j+1));
			}
		}
		double ans=0;
		for(re int i=1;i<=n;i++)
			ans+=tp[i]*d[i];
		printf("%.10lf",ans),putchar(10);
	}
	return 0;
}