【简单的数学题】
先开始化柿子
求的是
\[Ans=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N i\times j \times gcd(i.j)
\]
还是先上套路
\[F(n)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N[n|(i,j)]i\times j=(\frac{(\left \lfloor \frac{N}{n}\right \rfloor+1)\left \lfloor \frac{N}{n}\right \rfloor}{2})^2n^2
\]
\[f(n)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N[n=(i,j)]i\times j
\]
上套路我们要求的是
\[Ans=\sum_{i=1}^Ni\times f(i)=\sum_{i=1}^Ni\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})F(d)
\]
\[=\sum_{d=1}^N(\frac{(\left \lfloor \frac{N}{d}\right \rfloor+1)\left \lfloor \frac{N}{d}\right \rfloor}{2})^2\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})\times d^2\times i
\]
发现\(\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})\times i\)就是\(\mu\times id=\varphi\)
于是就有了
\[Ans=\sum_{d=1}^N(\frac{(\left \lfloor \frac{N}{d}\right \rfloor+1)\left \lfloor \frac{N}{d}\right \rfloor}{2})^2\varphi(d)d^2
\]
化到这里就可以直接线筛了，但是这个题的数据范围有点大，需要杜教筛
先把杜教筛的套路拿出来
\[S(n)=\sum_{i=1}^nh(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)
\]
这里我们要合理的选取\(g,h\)
由于
\[\sum_{i|d}\varphi(i)=d
\]
这里有了一个\(d^2\)，尝试给他陪上一个函数使得\(d^2\)变成一个可以提出来的东西就好了
显然\(d^2\times (\frac{n}{d})^2=n^2\)
于是设\(h(i)=i^2,f(i)=\varphi(i)i^2\)
我们发现这两个函数卷起来就是
\[h(n)=\sum_{i|n}\varphi(i)\times i^2\times(\frac{n}{i})^2=n^2\sum_{i|n}\varphi(i)=n^3
\]
有一个好像并不是那么常用的公式
\[\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=(\frac{n(n+1)}{2})^2
\]
\[\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
现在的\(g,h\)都可以快速求了
于是这道题就解决了
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<tr1/unordered_map>
#define re register
#define maxn 5000005
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std::tr1;
unordered_map<int,LL> ma;
LL n,M;
int f[maxn],p[maxn>>1];
LL phi[maxn];
LL P,inv_6,inv_2;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(!b) return x=1,y=0,a;
LL r=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return r;
}
LL quick(LL a,LL b)
{
LL S=1;
while(b){if(b&1ll) S=S*a%P;b>>=1ll;a=a*a%P;}
return S;
}
inline LL S(LL x) {x%=P;return x*(x+1)%P*(x+x+1)%P*inv_6%P;}
inline LL Sum(LL x){x%=P;return x*(x+1)%P*inv_2%P;}
LL solve(LL x)
{
if(x<=M) return phi[x];
if(ma.find(x)!=ma.end()) return ma[x];
LL ans=Sum(x)%P;
ans=ans*ans%P;
for(re LL l=2,r;l<=x;l=r+1)
{
r=x/(x/l);
ans=(ans-(S(r)-S(l-1)+P)%P*solve(x/l)%P)%P;
}
return ma[x]=(ans%P+P)%P;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&P,&n);
LL x,y;
inv_2=quick(2ll,P-2);
inv_6=quick(6ll,P-2);
M=min(5000000,n);
f[1]=1,phi[1]=1;
for(re LL i=2;i<=M;i++)
{
if(!f[i]) p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;
for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=M;j++)
{
f[p[j]*i]=1;
if(i%p[j]==0)
{
phi[p[j]*i]=p[j]*phi[i];
break;
}
phi[p[j]*i]=phi[p[j]]*phi[i];
}
}
for(re LL i=1;i<=M;i++) phi[i]=(phi[i-1]+phi[i]*(LL)i%P*(LL)i)%P;
LL ans=0;
for(re LL l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
LL s=Sum(n/l)%P;
s=s*s%P;
ans=(ans+s*(((solve(r)-solve(l-1)%P)+P)%P)%P)%P;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
