组合计数·棋盘统计

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1. Uva 10237 Bishops

题意：两个象不攻击，当且仅当它们不处在同一条斜线上。输入整数$n(n \leq 30)$，统计在一个$n \times n$的棋盘上放$k$个互不攻击的象有多少种方法。如$N=8, k = 6$时有$5599888$种。

 

分析：解决本题需要注意两个事实：

1.在棋盘上着色（如上图）不同的位置互不相干，因此可以独立处理。

2.每个放置象的位置独占某一列（对角线意义上）和某一行。

因此可初步得到如下的状态转移方程，用$dp(i, j)$表示在前$i$行（第$i$行有$l(i)$个棋格，假设$l(i)$严格对称递增）共放置$j$个象的方案数：

$dp(i, j) = dp(i - 1, j - 1) * (l(i) - j + 1) + dp(i, j)$其中$+$号左边表示在第$i$行放置一个象，右边表示不放。

只需要对奇数列和偶数列（行的长度）分别计算$dp$数组，最后用乘法合并成一个方格棋盘。对于本题至于将前半部分和后半部分相邻处理即可dp。