数论·威尔逊定理

• 威尔逊定理: $(p-1)!\equiv -1(\mod p)$当且仅当$p$为素数。

证明：在模p（素数）的简化剩余系$S = \{1, 2, ..., p - 1\}$中，对任意$i\in S$, $\exists j$, $ s.t.$,  $ij \equiv 1(\mod p)$,

考虑这种性质具有对称性，若${i^2}\equiv1(\mod p)$，则$i\equiv{\pm1}({\mod p})$，因此$(p-1)!\mod p = 1(p-1)\mod p = -1$。