2. 最短路问题

1. 单源最短路问题（Bellman-Ford 算法）　　

Bellman_Ford

　　单源最短路是固定一个起点，求它到其他所有点的最短路问题。

　　记从起点 s 出发到顶点 i 的最短距离为 d[ i ]，则有等式成立：

　　　　　　d[ i ] = min{ d[ j ] + (从 j 到 i 的边的权值) | e = (j, i) ∈ E }

　　如果给定的图是一个DAG，就可以利用这条递推关系计算出 d。但是如果图中有圈，就无法这样计算。

　　记当前到顶点 i 的最短路长度为 d[ i ], 并设初值 d[ s ] = 0, d[ i ] = INF, 再不断使用递推式更新 d 的值，就可以算出新的 d。只要图中不存在负圈（总长度小于0的有向环路），这样的更新操作就是有限的。结束之后 d 就是所求最短距离。

// 从顶点 from 指向顶点 to 的权值为 cost 的边
struct edge{
    int from;
    int to;
    int cost;
}; 
edge es[MAX_E];
int d[MAX_V];  //最短距离 
int V, E;

//求解从 s 出发到所有点的最短距离
void shortest_path(int s) {
    for (int i = 0; i < V; i++)    d[i] = INF;
    d[s] = 0;
    while(true) {
        bool update = false;
        for (int i = 0; i < E; i++) {
            edge e = es[i];
            if (d[e.from ] != INF && d[e.to ] > d[e.from ] + e.cost ) {
                d[e.to ] = d[e.from ] + e.cost;
                update = true;
            }
        }
        if (!update) break;
    }
}

　　如果在图中不存在从 s 可达的负圈，那么最短路不会经过同一顶点两次（也就是说最多通过 | V | - 1 条边），while（true）最多执行 | V | - 1 次，因此复杂度是0（| V | * | E |）。反之，如果存在从 s 可达的负圈，那么在第| V | 次循环中也会更新 d 的值，因此可用这个性质来检查负圈。如果一开始对所有顶点 i，都把 d[ i ] 初始化为0，那么可以检查出所有的负圈。

// 如果返回 true 则存在负圈
bool find_negative_loop() {
    memset(d, 0, sizeof(d));
    
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        for (int j= 0; j < E; j++) {
            edge e = es[j];
            if(d[e.to] > d[e.from] + e.cost) {
                d[e.to] = d[e.from] + e.cost;
                // 如果第 n 次仍然更新了，则存在负圈
                if (i == V - 1) return true; 
            }
        }
    }
    return false;
}

SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）

　　这是基于Bellman-Ford 的思想，采用先进先出（FIFO）队列进行优化的一个计算单源最短路的快速算法。

　　只要最短路径存在，SPFA算法必能求出最小值。我们假定最短路一定存在，即图中没有负权圈，所以每个结点都有最短路径值。每次入队的点的d【】值都在变小，在达到最短路径后，算法结束。

　　如果最短路径不存在时，即存在负圈，并且起点可以到达负圈，那么利用SPFA会进入死循环，因为d【】值会越来越小，无限循环，使得算法无法退出。若不存在负圈，则任何最短路上的点必定小于等于 | V |,换言之，我们用 vis[ i ] 来记录这个点入队的次数，所有的 vis[ i ] <= | V |,如果vis[ i ] > | V |，则表明这个图存在负圈。

　　复杂度：0（| V || E |）

struct edge{
    int to;
    int cost;
};
vector<edge> G[MAX_V];
int d[MAX_V];                //最短距离 
int vis[MAX_V];                //节点i被访问的次数 
bool inq[MAX_V];            //表示结点i是否在队列中

bool SPFA(int s) {
    memset(d, INF, sizeof(d));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(inq, false, sizeof(inq));
    
    queue<int> q;
    q.push(s);
    d[s] = 0;
    inq[s] = true;
    
    while (!q.empty()) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        inq[v] = false;
        
        if (vis[v]++ > V) return true;        //判断是否存在负圈，如果存在则返回true 
        
        for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) {
            edge e = G[v][i];
            if (d[e.to] > d[v] + e.cost ) {
                d[e.to] = d[v] + e.cost;
                if (!inq[e.to ]) {
                    inq[e.to] = true;
                    q.push(e.to);
                }
            }
        }    
    }
    return false;
}

这里参考自：

夜深人静写算法（四）-差分约束．

2.单源最短路问题（Dijkstra 算法）

　　让我们来考虑一下没有负边的情况。在 Bellman-Ford算法中，如果d[ i ] 还不是最短距离的话，那么即使进行 d[ j ] = d[ i ] + (从 i 到 j 的边的权值的更新)，d[ j ]也不会变成最短距离。而且即使d[ i ] 没有变化，每次循环也要检查一遍从 i 出发的所有边。这显然是浪费时间的。因此对算法做如下修改。

　　（1）找到最短距离已经确定的顶点，从它出发更新相邻顶点的最短距离。

　　（2）此后不需要再关心（1）中的最短距离已经确定的点。

　　那么怎么确定这个顶点？在最开始的时候，只有起点的最短距离是确定的，而在尚未使用的顶点中，距离 d[ i ] 最小的顶点就是最短距离已经确定的顶点。这是因为由于不存在负边，所以 d[ i ]不会在之后的更新中变小。

int cost[MAX_V][MAX_V]; //cost[u][v]表示边 e = （u，v）的权值，不存在是为INF
int d[MAX_V];           //顶点s出发的最短距离
bool used[MAX_V];       //已经使用过的图 
int V;

//求从起点s出发到各顶点的最短距离
void dijkstra(int s) {
    fill(d, d + V, INF);
    fill(used, used + V, false);
    d[s] = 0;
    
    while(true) {
        int v = -1;
        //从尚未使用的顶点中选择一个距离最小的顶点
        for (int u = 0; u < V; u++) 
            if (!used[u] && (v == -1 || d[u] < d[v])) 
　　　　　　　　　　v = u;
        if (v == -1) break;
        used[v] = true;
        for (int u = 0; u < V; u++)
            d[u] = min(d[u], d[v] + cost[v][u]); 
    }
}

　　使用邻接矩阵实现的话复杂度为0（| V |²）.使用邻接表的话，更新最短距离只需要访问每条边一次即可，因此这部分的复杂度为0（| E |）。但每次都要枚举所有的顶点来查找下一个使用的顶点，因此最终复杂度仍为0（| V |²）。需要优化的是数值的插入（更新）和取出，使用堆可以解决。把每个顶点当前的最短距离用堆来维护。而每次从堆中取出的最小值就是下一次要使用的顶点。这样堆中的元素共有0（| V |）个，更新和取出数值的操作有0（| E |）次，因此整个算法复杂度为0（| E | log | V |）。

struct edge {
    int to;
    int cost;
}; 
typedef pair<int, int> P; //first 是最短距离， second是顶点的编号
int V;
vector<edge> G[MAX_V];
int d[MAX_V];

void dijkstra(int s) {
    //通过指定greater<P> 参数，堆按照first从小到大排序
    priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > q;
    fill(d, d + V, INF);
    q.push(P(0, s));
　　d[s] = 0;
    while (!q.empty()) {
        P p = q.top();
        q.pop();
        int v = p.second;
        if (d[v] < p.first) continue;
        for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) {
            edge e = G[v][i];
            if (d[e.to] > d[v] + e.cost) {
                d[e.to ] = d[v] + e.cost;
                q.push(P(d[e.to], e.to));
            }
        }
    } 
}

　　相对于Bell-Ford的0（| V | | E |）的复杂度，Dijkstra算法的复杂度是0（| E | log | V |）更高效，但是在图中存在负边的情况下，Dijkstra就无法正确求解，还是需要用Bell-Ford算法。

　　这里可能会对SPFA和dijkstra+heap优化产生混淆，提供一篇非常清晰的辨别博客：

　　SPFA和dijkstra+heap区别

eg :POJ-2387

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAX_V = 10101;
int INF = 0x3f3f3f3f;
struct edge {
    int to;
    int cost;
}; 
typedef pair<int, int> P; //first 是最短距离， second是顶点的编号
int V;
vector<edge> G[MAX_V];
int d[MAX_V];

int T, N;

void dijkstra(int s) {
    //通过指定greater<P> 参数，堆按照first从小到大排序
    priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > q;
    fill(d, d + V, INF);
    q.push(P(0, s));
    d[s] = 0;
    while (!q.empty()) {
        P p = q.top();
        q.pop();
        int v = p.second;
        if (d[v] < p.first) continue;
        for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) {
            edge e = G[v][i];
            if (d[e.to] > d[v] + e.cost) {
                d[e.to ] = d[v] + e.cost;
                q.push(P(d[e.to], e.to));
            }
        }
    } 
}
int main() {
    cin >> T >> N;
    V = N;
    for (int i = 0; i < T; i++) {
        int p;
        edge e, ee;
        cin >> p >> e.to >> e.cost ;
        ee.to = p - 1;
        e.to -= 1;
        ee.cost = e.cost;
        G[p - 1].push_back(e);
        G[e.to].push_back(ee);
    }
    //cout << endl;
    /*for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < G[i].size(); j++)
            cout << i << ' ' << G[i][j].to << ' ' << G[i][j].cost << endl;
    }*/
    dijkstra(0);
    //for (int i = 0; i < N; i++)
    cout << d[N - 1] << endl;
    return 0;
}

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POJ-3268

这题大意是给你有向图，求每个点到 X 的最短路径 + X 到每个点的最短路径（原路径都不能使用），求出需要的最长时间

思路：第一遍用dijkstra 算法，第二次只要把图反转即 cost[ i ][ j ] = cost[ j ][ i ],再使用dijkstra一次即可。当然每个点到X的最短路也就是X到每个点的最短路（估计就我一个人不这么想）

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int cost[1010][1010];
int d[1010];
bool vis[1010];
int ans[1010];
int V, E, X;
int INF = 0x3f3f3f3f;

void dijkstra(int s) {
    fill (d, d + V, INF);
    fill (vis, vis + V, false);
    d[s] = 0;
    
    while (true) {
        int v = -1;
        for (int i = 0; i < V; i++)
            if (!vis[i] && (v == -1 || d[i] < d[v]))
                v = i;
        if (v == -1) break;
        vis[v] = true;
        for (int i = 0; i < V; i++)
            d[i] = min(d[i], d[v] + cost[v][i]);
    }
    
    for (int i = 0; i < V; i++)
        ans[i] += d[i];
    
        
} 

int main() {
    cin >> V >> E >> X;
    //fill(cost[0], cost[0] + V * V, INF);
    memset(cost, INF, sizeof(cost));
    for (int i = 0; i < E; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        cost[a - 1][b - 1] = c;
    }
    dijkstra(X - 1);
    for (int i = 0; i < V; i++)
        for (int j = i; j < V; j++)  // 这里我写成了 for(int j = 0; j < V)..这样会又改回来 
            swap(cost[i][j], cost[j][i]);
    dijkstra(X - 1);
    int maxs = 0;
    for (int i = 0; i < V; i++)
        maxs = max(maxs, ans[i]);
    cout << maxs << endl;
    
}

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POJ-2066

这题就是把家到附近城市的距离设置为0，一遍Dijkstra就可以了。但是这些题最坑的是居然有重边。

因为草儿的家在一个小镇上，没有火车经过，所以她只能去邻近的城市坐火车（好可怜啊~）。
Input
输入数据有多组，每组的第一行是三个整数T，S和D，表示有T条路，和草儿家相邻的城市的有S个，草儿想去的地方有D个； 
接着有T行，每行有三个整数a，b，time,表示a,b城市之间的车程是time小时；(1=<(a,b)<=1000;a,b 之间可能有多条路) 
接着的第T+1行有S个数，表示和草儿家相连的城市； 
接着的第T+2行有D个数，表示草儿想去地方。
Output
输出草儿能去某个喜欢的城市的最短时间。
Sample Input
6 2 3
1 3 5
1 4 7
2 8 12
3 8 4
4 9 12
9 10 2
1 2
8 9 10
Sample Output
9

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#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> P;
const int MAX_V = 1005;
int INF = 0x3f3f3f3f;
int map[MAX_V][MAX_V];
int d[MAX_V];
int s[MAX_V], f[MAX_V];
bool used[MAX_V];
int T, S, D;
void dijkstra(int s) {
    memset(d, INF, sizeof(d));
    memset(used, false, sizeof(used));
    //priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > q;
    //q.push(P(0, s));
    d[s] = 0;
    /*while (!q.empty()) {
        P p = q.top(); q.pop();
        int v = p.second;
        if (d[v] < p.first) continue;
        for (int i = 0; i < MAX_V; i++) {
            if(map[v][i] == -1) continue;
            if (d[i] > d[v] + map[v][i]) {
                d[i] = d[v] + map[v][i];
                q.push(P(d[i], i));
            }
        }
    }*/
    while(true) {
        int v = -1;
        for (int i = 0; i < MAX_V; i++)
            if (!used[i] && (v == -1 || d[i] < d[v])) v = i;
        if (v == -1) break;
        used[v] = true;
        for (int i = 0; i < MAX_V; i++)
            d[i] = min(d[i], d[v] + map[v][i]);
    }    
}

int main() {
    while (~scanf("%d%d%d", &T, &S, &D)) {
        memset(map, INF, sizeof(map));
        for(int i = 0; i < MAX_V; i++)
            map[i][i] = 0;
        //memset(d, INF, sizeof(d));
        for (int i = 0; i < T; i++) {
            int a, b, c;
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            if (c < map[a][b])
                map[a][b] = map[b][a] = c; 
        }
        for (int i = 0; i < S; i++) {
            scanf("%d", &s[i]);
            map[0][s[i]] = 0;
            map[s[i]][0] = 0;
        }
        dijkstra(0);
        for (int i = 0; i < D; i++)
            scanf("%d", &f[i]);
        int mins = INF;
        for (int i = 0; i < D; i++)
            mins = min(mins, d[f[i]]);
        printf("%d\n", mins);
    }    
}

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3.任意两点间的最短路问题（Floyd-Warshall 算法）

　　试用DP来解决。记 d[ k + 1 ][ i ][ j ] 为在只使用 0 ~ k 个顶点下从 i 到 j 的最短路径长度。当 k = -1 时我们认为只使用了 i 和 j 两个顶点，

所以d[ 0 ][ i ][ j ] = cost [ i ][ j ]. 接下来思考只使用顶点 0 ~ k 的问题归约到只使用 0 ~ k - 1 的问题上。

　　只使用 0 ~ k 时，我们 i 到 j 的最短路分两种情况：

　　　　（1）正好经过顶点 k 一次。 d[ k ][ i ][ j ] = d[ k - 1 ][ i ][ k ] + d[ k - 1 ][ k ][ j ].

　　　　（2）完全不经过顶点 k 。 d [ k ][ i ][ j ] = d[ k - 1 ][ i ][ j ].

　　所以递推式为（如果使用同一个数组更新）：

　　　　d[ i ][ j ] = min( d[ i ][ j ], d[ i ][ k ] + d[ k ][ j ] )

　　复杂度为0（| V |³），Floyd-Warshall 算法和 Bellman-Ford 算法一样，可以处理边是负数的情况。而判断图中是否有负圈，只需检查是否存在 d[ i ][ j ]是负数的顶点 i 就可以了。

int d[MAX_V][MAX_V];
int V;

void floyd_warshall() {
    for (int k = 0; k < V; k++)
        for (int i = 0; i < V; i++)
            for ( int j = 0; j < V; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

　　如果复杂度在可接受的范围内，单源最短路径也可以用 Floyd-Warshall 进行求解。

4. 路径还原

　　以 Dijkstra 算法为例，试还原最短路径。在求解最短路径时，满足 d[ j ] = d[ k ] + cost[ k ][ j ] 的顶点 k，就是最短路上的前驱节点，因此通过不断寻找前驱节点就可以恢复出最短路。复杂度为 0（| E |）。

　　此外，如果用 prev[ j ] 来记录最短路上顶点 j 的前驱，那么就可以在 0（| V |）的时间内完成最短路的恢复。 d[ j ] 被 d[ j ] = d[ k ] + cost[ k ][ j ] 更新时，修改 prev[ j ] = k，这样就可以得到 prev数组。在计算从 s 出发到 j 的最短路时，通过 prev[ j ] 就可以最短顶点 j 的前驱，因此不断把 j 替换成 prev[ j ]直到 j = s 为止就可以了。其他两个算法类似。

int prev[MAX_V];

// 求从起点 s 出发到各个顶点的最短距离
void dijkstra(int s) {
    fill(d, d + V, INF);
    fill(used, used + V, false);
    fill(prev, prev + V, -1);
    d[s] = 0;
    
    while(true) {
        int v = -1;
        for (int u = 0; u < V; u++)
            if (!used[u] && (v == -1 || d[u] < d[v]))
                v = u;
        if (v == -1) break;
        used[v] = true;
        for (int u = 0; u < V; u++)
            if (d[u] > d[v] + cost[V][u]) {
                d[u] = d[v] + cost[v][u];
                pre[u] = v;
            }
    }
    
    //到顶点 t 的最短路
    vector<int> get_path(int t) {
        vector<int> path;
        for ( ; t != -1; t = prev[t])
        // 不断沿着 prev[t] 走，直到 t = s 
            path.push_back(t);   
        // 翻转就是 
        reverse(path.begin(), path.end());
        return path;
    }
}

5. 例题

　　Dijkstra 算法的思路是依次确定尚未确定的顶点中距离最小的顶点，那么按照这个思路对算法进行少许修改就可以求出次短路。

　　到某个顶点 v 的次短路要么是到其它某个顶点 u 的最短路再加上 u -> v 的边，要么就是到 u 的次短路再加上 u -> v 的边，因此所需要求的就是到所以顶点的最短路和次短路。因此我们不仅要记录最短距离，还要记录次短距离。接下来只要用与 Dijkstra 算法相同的做法，不断更新这两个距离就可以求出次短路。

typedef pair<int, int> P;
struct edge{
    int to;
    int cost;
};
int N, R;
vector<edge> G[MAX_N];
int dis[MAX_N];        // 最短距离 
int dis2[MAX_N];        // 次短距离 

void solve() {
    priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > q;
    fill(dis, dis + N, INF);
    fill(dis2, dis2 + N; INF);
    dis[0] = 0;
    q.push(P(0, 0));
    while (!q.empty()) {
        P p = q.top();
        q.pop();
        int v = p.second;
        int d = p.first ;
        if (dis2[v] < d) continue;
        for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) {
            edge &e = G[v][i];
            int d2 = d + e.cost;
            if (dis[e.to] > d2) {
                swap(dis[e.to], d2);
                q.push(P(dis[e.to], d2));
            }
            if (dis2[e.to] > d2 && dis[e.to] < d2) {
                dis2[e.to] = d2;
                q.push(P(dis2[e.to], e.to));
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dis2[N - 1]);
}

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posted @ 2019-04-19 21:59 莫莫君不恋爱阅读(332) 评论(0) 编辑收藏举报

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3.任意两点间的最短路问题（Floyd-Warshall 算法）

4. 路径还原

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