约瑟夫环 转

约瑟夫问题总结 poj 2244 HDU 2211约瑟夫问题数学解法(转)

首先看一看最原始的约瑟夫问题

1   约瑟夫环(Josephus)问题是由古罗马的史学家约瑟夫(Josephus)提出的,他参加并记录了公元66—70年犹太人反抗罗马的起义。约瑟夫作为一个将军,设法守住了裘达伯特城达47天之久,在城市沦陷之后,他和40名死硬的将士在附近的一个洞穴中避难。在那里,这些叛乱者表决说“要投降毋宁死”。于是,约瑟夫建议每个人轮流杀死他旁边的人,而这个顺序是由抽签决定的。约瑟夫有预谋地抓到了最后一签,并且,作为洞穴中的两个幸存者之一,他说服了他原先的牺牲品一起投降了罗马。

2   17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲的一个故事:15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险,必须将一半的人投入海中,其余的人才能幸免于难,于是想了一个办法:30个人围成一圆圈,从第一个人开始依次报数,每数到第九个人就将他扔入大海,如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法,才能使每次投入大海的都是非教徒.

3   有n只猴子,按顺时针方向围成一圈选大王(编号从1到n),从第1号 
开始报数,一直数到m,数到m的猴子退出圈外,剩下的猴子再接着从1 开始报数。就这样, 
直到圈内只剩下一只猴子时,这个猴子就是猴王,编程求输入n,m后,输出最后猴王的编 
号。

4     编号为1,2,3,…,n的n个人按顺时针方向围坐一圈,每人持有一个密码(正整数)。一开始任选一个正整数作为报数的上限值m,从第一个人开始按顺时针方向自1开始顺序报数,报到m时停止。报m的人出列,将他的密码作为新的m值,从他在顺时针方向上的下一人开始重新从1报数,如此下去,直到所有人全部出列为止。编程打印出列顺序。


以上是典型的约瑟夫问题约瑟夫问题的传统解法是利用循环链表加以解决,这就需要从1号元素开始模拟所有元素出列的情况,附上原始的解决方法:

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
struct node
{
    int code;
    node * next;
};
int n,m,i,j;
int main(void)
{
    node * head,* tail,* no,* p2;
    no=new node;
    no->code=1;
    no->next=NULL;
    head=tail=no;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=2;i<=n;i++)
    {
        no=new node;
        no->code=i;
        no->next=NULL;
        tail->next=no;
        tail=no;
    }
    tail->next=head;
    for (i=1;i<=n-1;i++)
    {
        j=1;
        while (j<=m-1)
        {
            no=no->next;
            j++;
        }
        printf("%d ",no->next->code);
        p2=no->next;
        no->next=no->next->next;
        delete p2;
    }
    printf("%d\n",no->code);
    system("pause");
    return 0;
}

对于4 :

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
/*********
作者: 北京交通大学 
      循环链表的应用 
********/
typedef struct LNode
{
        int num,code;
        struct LNode *next;
        
}LNode,*Linklist;
/*********
函数名:Josef
参数:整形n,代表人数 m代表初始的密码 
返回值:无

**********/
void Josef(int n,int m)
{
     Linklist head,p,L,q;
     head = (Linklist)malloc(sizeof(LNode));
     p = head;
     int i,j,k,temp;
     int mima = m;//初始密码 
     for(i=1;i<n;i++)//建立单循环链表 ,有头结点 
     {
         L = (Linklist)malloc(sizeof(LNode));
         p->next = L;
         p = L;
     }
     L->next = head;//L指向队尾; 
     //L = head;
     //p = head->n;
     p = head;
     for(i = 1;i<=n;i++)//为每一个节点输入密码和号数 
     {
     
           printf("请为节点%d输入密码:",i);
           scanf("%d",&j);
           p->num = i;
           p->code= j;
           p = p->next;
           
     }
     

  
    int count = 0;    //count来寻找删除的节点的前一个节点 
    p = L;            //从尾指针 开始查找,来防止初始密码为1时可能带来的指针溢出问题 
    while(p->next!=p)
    {
         while(count<mima-1)
         {
              p = p->next;
              count++;
              
         }
         mima = p->next->code;
         printf("%d ",p->next->num);
         p->next = p->next->next;
         count = 0;
         
    }
    printf("%d",p->num);
    
      
}
main()
{
      int n,m;
      printf("请输入人数:");
      scanf("%d",&n);
      printf("请输入初始密码:");
      scanf("%d",&m);
      Josef(n,m);
      getchar();
      
}

 

 

 

以上时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。

有的问题例如猴子选大王仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:

问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换:
k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n 

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1

由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:

#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。

在此基础上再看看POJ 2244这个问题:

问题描述:http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2244

这个问题对约瑟夫问题有点变形: 已知最后的元素 为 2 ,n 从输入中给出,求出最小的m

其实这个用一种比较笨的办法就是 m 从1开始一个一个试,找到第一个(n ,m),使得最后出列的元素序号为2 的 m 即为解。

求最后出列元素的方法由上面给出,这里所作的优化就是求约瑟夫的优化,至于遍历求m的优化可以考虑打表。

这个题目还有一点要注意的就是 : 它第一个打印的元素始终是1,从2开始为约瑟夫问题,这样可以把2看做是1,n看为n-1的约瑟夫问题

一下是源代码:

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int josef(int n,int m)
{
int s = 0;
for(int i = 2;i<=n-1;i++)
   s = (s+m)%i;
return s+1+1;
}
int main()
{
    int n;
    int m;
    scanf("%d",&n);
    while(n)
    {
   for(m=1;;)
   {
    if(josef(n,m)==2)
     break;
    m++;
   }
   printf("%d\n",m);
   scanf("%d",&n);
  
    }
    return 0;
}

HDU 2211(有点bt)

不知道你是否玩过杀人游戏,这里的杀人游戏可没有法官,警察之类的人,只有土匪,现在已知有N个土匪站在一排,每个土匪都有一个编号,从1到N,每次杀人时给定一个K值,从还活着的土匪中,编号从小到大的找到K个人,然后杀掉,继续往下,直到找遍,然后继续从剩下的土匪中,编号从小到大找到第K个活着的土匪,然后杀掉。比如,现在有10个土匪,K为3,第一次杀掉3,6,9号的土匪,第二次杀掉4,8号土匪,第三次杀掉5号土匪,第四次杀掉7号土匪,第五次杀掉10号土匪,我们看到10号土匪是最后一个被杀掉的(从1到K-1的土匪运气好,不会被杀!)。现在给定你一个N和一个K,问你最后一个被杀掉的土匪的编号是多少。

posted @ 2013-05-19 16:36  galaxy77  阅读(309)  评论(0编辑  收藏  举报