bzoj 3675 [Apio2014]序列分割

假设序列总和为tot， 每一段序列的和为 sum[i]

那么每一段序列，都被乘了（tot-sum[i]），将所有序列的贡献累加起来再除以2就是答案

考虑f[i][j]为前i个数，分了j块的最优值

那么 f[i][j] = max(f[k][j-1]+(sum[i]-sum[k])*(tot-(sum[i]-sum[k]))) k ∈ [j-1, i-1];

现在我们要优化这个转移 考虑如果从 k 转移比从 l 转移更优，那么可以化简式子 (f[k][j-1]-f[l][j-1])/(sum[k]-sum[l])-sum[k]-sum[l]>tot-2*sum[i]

然后就可以斜率优化了，时间复杂度 O（Kn）

#define MAXN 100010UL
#include <cstdio>
#define eps 1e-7

using namespace std;

typedef long long ll;

int n, hd, tl, nw, lt = 1, K, q[MAXN];
ll sum[MAXN], f[MAXN][2];

ll Get_(ll x) {
    return x*(sum[n]-x);
}

double Get_k(int i, int j) {
    if(sum[i]==sum[j]) return 0;
    return (double)(f[i][lt]-f[j][lt])/(double)(sum[i]-sum[j])-sum[i]-sum[j];
}

bool Check(int i, int j, int k) {
    return Get_k(i, j)-Get_k(j, k)>-eps;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &K);
    ++ K;
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i) scanf("%lld", &sum[i]), sum[i] += sum[i-1];
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i) f[i][0] = sum[i]*(sum[n]-sum[i]);
    for(int k = 2 ; k <= K ; ++ k) {
        nw ^= 1, lt ^= 1;
        hd = tl = 0;
        q[tl ++] = k-1;
        for(int i = k ; i <= n ; ++ i) {
            while(hd+1<tl&&f[q[hd+1]][lt]+Get_(sum[i]-sum[q[hd+1]])>=f[q[hd]][lt]+Get_(sum[i]-sum[q[hd]])) ++ hd;
            f[i][nw] = f[q[hd]][lt]+Get_(sum[i]-sum[q[hd]]);
            while(hd+1<tl&&Check(i, q[tl-1], q[tl-2])) -- tl;
            q[tl ++] = i;
        }
    }
    printf("%lld", f[n][nw]/2);
    return 0;
}