微积分 Calculus

前言

如果你的工作中没有用到微积分，毫无疑问，你的工作是简单而枯燥的。

0 limit

Say there is a function $f(x)=x$.

$x\to a$ : We can use this to $denote$ that $x$ is approching to $a$. Yes, it's just an action will never be ended and also will never really equal to a.
(eg. $a=0$ then $x$ will be 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 $...$ 0.0000000000000000000000000000000000001 $...$ 0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000001 $...$ $x$ can go and go with this pattern never stop.)

Someone says I konw what you want, it is $limit$. $Limit$ see this pattern and gives a number $0$.

$x$ is running non-stop, and $limit$ gives you the answer.

so $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ is already an answer( number). Then we can use $=$ to denote it equal to some number.

That is

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$$

limit of $f(x)$ as $x\to a$.

1 导数

对于微积分的描述，总是以 路程(S)-时间(t) 速度(v)-时间(t) 图像的引入开始。因为牛顿发明微积分就是为了解决物理问题！从微分求导开始，抵达积分为终止点。

导数可以看作是图像 某一段 的平均变化率，对应 平均速度。$\mathrm{\Delta }t$是一个确定的数字 eg.$\mathrm{\Delta }t=0.1=end-start$

$$\frac{\mathrm{\Delta }s(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{s(start+end-start)-s(start)}{end-start}=\frac{s(end)-s(start)}{end-start}$$

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}$, 表示这一段的长度无限小(approch) and finnaly need to Limit it。图像的这一段很小, 有多小呢？要多小有多小，比原子还小，比任何我们可以想象出来的距离还小！ 就像是一个点。但是永远不会缩一个点。

$$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s(t)}{\mathrm{\Delta }t}=li{m}_{\mathrm{\Delta }t\to 0}\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s(t)}{\mathrm{\Delta }t}:=\frac{ds(t)}{dt}=\frac{s(t+dt)-s(t)}{dt}$$

业界有个不成文的规矩，喜欢用$\frac{ds(t)}{dt}$这种简化版本来表示正常的导数定义，毫无疑问，这缺少了许多信息。

不过面对任何数学问题，有一个大杀器 All you need is just a Definition. 去翻翻他们的定义吧。

We can use $dt$ to denote this process, first it just (small number) and limit in the context like $\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}$.

也就是说

$$dt:=\text{ 1. We treat it as a normal number }\mathrm{\Delta }t\text{ and process it in the context.}$$

$$\text{2. For the answer which from 1, running with }\mathrm{\Delta }t\to 0.$$

$$\text{3. Finnaly Limit it.}$$

需要注意的是 $s=s(t)$, $s$ 的值随着 $t$ 来变化， t 被称为独立(independet)变量, s 被称为非独立(dependent)变量.

用 $ds(t)$ 来表示他们的差。非常重要的一点是 $ds(t)$ 依赖于 $dt$，哪怕是在趋近的过程中，他们也是同步的变化。

$$ds(t)=s(t+dt)-s(t)$$

事实是这样的，虽然 $ds$ $dt$ 都很小，但是他们比值的结果并不小。

eg.

$$s(t)=t^2$$

$$\frac{\mathrm{\Delta }s(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}=2t+\mathrm{\Delta }t$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{ds(t)}{dt}=\frac{s(t+dt)-s(t)}{dt}=2t$$

(Informal ) 某一 路程(S)-时间(t) (函数)的图像中。由于对于上式的计算化简(导数公式的来源)，对于路程函数s(t)的任意一时间 t, 我们总能找到与之对应的 速度v(t).

$$\frac{ds(t)}{dt}=\frac{s(t+dt)-s(t)}{dt}=v(t)$$

导数并不难，下面就是积分了。以及导数和积分的关系。

1.1 二维情况

在邻域内，可以认为是线性的，无论是x方向还是y方向。在(x,y)处，dz是0, 因为没有变化。因为分子是quantom1， 斜率可以认为与（dZx, dZy）相关。对于任意一个方向，差异为(dZx * cosA + dZy * cosB) = （dZx, dZy）dot (cosA, cosB) 所以方向与 （dZx, dZy）相同的方向为差异值最大的方向，也就是梯度的方向。

2 积分

求积分就是求面积。对于速度图像 速度(v)-时间(t)， 要想求其下的面积可以用固定间隔 $\mathrm{\Delta }t$ 将其分成小长条。这里我们分成3块。

$$v(1)\mathrm{\Delta }t+v(2)\mathrm{\Delta }t+v(3)\mathrm{\Delta }t=\sum _{t=1}^{3}v(t)\mathrm{\Delta }t$$

这个时候是可以手工计算出来的。 但是误差会比较大。

我们缩短间隔，变成长度趋于零的 $dt$。由于 $dt$ 间隔无限小，我们可以划分出无限多的小长条。并且将他们加起来。$\int$ 表示求和。

$${\int }_{start}^{end}v(t)dt$$

但是怎么算呢？这么多东西不是手工可以加起来的。我们可以仔细看看上面的式子，并对其做出变换。

$$\int v(t)dt=\int \frac{ds(t)}{dt}dt=\int \frac{s(t+dt)-s(t)}{dt}dt=\int s(t+dt)-s(t)$$

最终等于无数个小间隔于 路程(S)-时间(t) 图像中的函数值s(t)之差的和。

$$s(t_{end})-s(t_{end}-dt)+s(t_{end}-dt)-s(t_{end}-2dt)+.....-s(t_{start})$$

$$s(t_{end}+dt)-s(t_{start})=s(t_{end})-s(t_{start})$$

所以我们可以把待求积分的函数看作是一个导函数 v(t)， 无法直接求出无数项相加转而去寻找其原函数s(t)在这一段的差值。积分的表示是一种无限小的极限想法，而计算则需要与导数相连

注：

2022.2.28日，由麦克斯韦方程组引发对于微积分的再次探究。

3 Continuity with Open set

$\epsilon$-Neighborhood(an open set)
Let $a\in \mathbb{R}$ and $\epsilon >0.$ The $\epsilon$-neighborhood at $a$ is the set

$$\begin{array}{c}{B}_{\epsilon }(a)=(a-\epsilon ,a+\epsilon )=\{x\in \mathbb{R}:|x-a|<\epsilon \}.\end{array}$$

Inverse Image
Let $f:X\to Y$ be a function. Let $U\subset Y.$ Then the $inverse$ $image$ of $U$, denoted $f^{-1}(U),$is the set

$$f^{-1}(U)=\{x\in X\mid f(x)\in U\}.$$

Epsilon-delta definition of continuity

$$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in D:|x-x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<ϵ$$

MATH 1150: Mathematical Reasoning: Definition: Subset
A is a subset of B, (denoted $A\subseteq B$), if every element of A is also an element of B.

$$\text{If }x\in A\text{ then }x\in B$$

Continuous Functions via Open Neighborhoods

$$|x-x_0|<\delta :=x\in B_{\delta }(x_0)$$

$$|f(x)-f(x_0)|<ϵ:=f(x)\in B_{\epsilon }(f(x_0))=x\in f^{-1}(B_{\epsilon }(f(x_0)))$$

$$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in D:x\in B_{\delta }(x_0)=>x\in f^{-1}(B_{\epsilon }(f(x_0)))$$

$$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in D:x\in B_{\delta }(x_0)\subseteq x\in f^{-1}(B_{\epsilon }(f(x_0)))$$

X Refference

1. Epsilon-delta_definition_of_continuity
   https://de.m.wikibooks.org/wiki/Serlo:_EN:_Epsilon-delta_definition_of_continuity#:~:text=Among the sequence criterion%2C the epsilon-delta criterion is,cause arbitrarily small changes of the function value.

2. Gerbert Strong MIT calculus

3. Difference Between Inverse Functions and Inverse Images
   https://people.clas.ufl.edu/groisser/files/inverse_images.pdf
   另一种Open Set的拓扑学集合连续的定义需要用到inverse_images.

4. https://www.youtube.com/watch?v=LISvIcPwSDA&list=PLL0ATV5XYF8BWP1JYgTkF-EIxAoFLSUrP&index=28&ab_channel=MatthewSalomone

后记：本篇博文中英文混杂，不过希望大家理解，最好的数学资料来自于英文课本，所以。