AI五子棋_04 大数的快速幂模 Python实现

AI五子棋 第四步

恭喜你到达第四步！

看完之后，你大概了解了公钥体系。我们来看个例子：

公钥是：p = (5, 493)
私钥是：s = (269, 493)

在计算机的世界里所有的信息都是以数字的形式存在的，我的秘密是一个数字327，我要使用上面的秘钥，利用公钥体系把它悄悄告诉服务器。

用公钥加密：message_s = 327^5%493 = 259

这时发送的密信是259，服务器收到这个密信，用私钥把它解密：

message = 259^269%493 = 327

服务器就得到了我发送的密码327。

如你所见，这里要算很大数的幂，比如

• 259^269 =
  15053467104180638609029925224281715754907934722117000242777258634551580470140153412220680484519790805381655613724396676705173857597403088184158625857979315135844773789379555623558302521623997025891200138511274625668430519371537168899970181189974554453763372047626759969967395097967860557819356030277519625769400770763586028057179937675570037586939759770083093353841252856161768500859373456878103368167758906830277234018467827167779711890401517630533572921657390139411043964035291456161313073576724327795960183532473671314566884529728682681823059275141138882049683036832736391286971240023524693755814249666381072016621932311414629374478355180074544339

当然我们不需要知道它的结果是什么，我们只需要知道取模后的结果。这种运算在刚刚阅读的材料中叫做“钟算”，更普遍的叫法是“模幂”（modular exponentiation），有一个很快的算法。https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/modular-exponentiation

要求

实现模幂算法，通过服务器的检验。

访问http://2**.2**.**.1**:9012/step_04服务器会给你10个问题，每个问题包含三个数(a,b,c)，请给出a^b%c的值。返回值写入字段ans，10个数字用逗号,隔开，提交到http://2**.2**.**.1**:9012/step_04

提示：注意逗号必须是英文逗号。

待处理信息

Python程序实现

import requests as re
import time
def fastModular(x): #快速幂的实现
	"""x[0] = base """
	"""x[1] = power"""
	"""x[2] = modulus"""
	result = 1
	while(x[1] > 0):
		if(x[1] & 1): # 位运算加快判断奇偶
			result = result * x[0] % x[2]
		x[1] = int(x[1]/2)
		x[0] = x[0] * x[0] % x[2]
	return result

answer = ''
getHtml = re.get("http://2**.2**.**.1**:9012/step_04/")

start = time.process_time()					# 运算时间戳
for i in eval(getHtml.json()['questions']): # 将带有'[]'符号的字符串转换成列表
	answer += str(fastModular(i)) + ','
end = time.process_time()					# 运算时间戳

param = {'ans':answer[:-1]}
print(f"Runing time is { end- start} sec")
getHtml = re.get("http://2**.2**.**.1**:9012/step_04/",params=param)
print(getHtml.text)

>>>
runing time is 0.0 s
{"is_success": true, "message": "please visit http://2**.2**.**.1**:9012/context/eb63fffd85c01a0a5d8f3cadea18cf56"}
>>>

直接运行即可获得下一步链接答案!!

How can we calculate A^B mod C quickly if B is a power of 2 ?

快速幂模的数学基础

Using modular multiplication rules:

i.e. A^2 mod C = (A * A) mod C = ((A mod C) * (A mod C)) mod C

a^b % c = (a % c)^b % c

(a * b * c) % d = {(a % d) * (c % d) * (b % d)} % d

a^5 % c = (a % c)^5 % c = {(a % c) * (a % c) * (a % c) * (a % c) * (a % c)} % c

一种算法是利用{(a % c) * (a % c) * (a % c) * (a % c) * (a % c)} % c，利用正常求幂次的方法，将变量进去迭代。result = result * a % c这样会迭代5次，也就是幂次的运算时间复杂度。

注：迭代运算{（result % c） * （a % c）} % c == result * a % c

还有一种就是利用底数和幂次的关系，将幂次除以2，底数平方倍。这个数还是不变的。再加上利用引理就会方便很多。log(power)的时间复杂度。

4^20 mod 11 = 1099511627776 % 11 =1

= 16^10 mod 11 = (16 mod 11)^10 = 5 ^ 10 mod 11

= 25 ^ 5 mod 11 = (25 mod 11)^5 = 3 ^ 5 mod 11

9 ^ 2.5 = 9 ^ 2 * 9^(1/2) = 9 ^ 2 * 3 mod 11

上面这个需要平方3变9 再开2次方 9变3，得到结果。简化后我们发现这种方法可以归结为，当幂次变成奇数的时候，我们将奇数减一，除以二，底数平方，并乘以底数 进行计算。结果是一样的。这样想更简单。也方便程序实现

3 ^ 5 mod 11 = 9 ^ 2 * 3 mod 11 ( 5-1=4 ,4/2=2 )

= (9 mod 11)^2 * 3 mod 11 = 81^1 * 3 mod 11

= 4 * 3 mod 11 = 12 mod 11

=1

奇数减一分成偶数次幂那部分最终都会到0次(1/2=0)，结果为1。而分出去的一次幂就是决定结果的关键因素。

解题过程

快速幂模的方法，幂的除以二那里可以用Python的位运算加快速度 >>, 但是没怎么用过，就直接除以二 转化为int了。程序通过Python请求目标网页。

因为知道是Json数据，就用 .json() 转换成字典。

问题的形式是类似嵌套列表的方式的字符串，尝试用list()转换，没有成功，上网搜到 eval（） 函数，于是乎转成功了，变成了嵌套列表

for循环进去，调用快速幂模方法将结果拼接于 answer

再把答案提交上去。得到下一关地址。

后面对运行时间感兴趣就加了计时函数。一开始用 time.clock（）。Python报错说是这个方法不能用了以后，给出了一个新的替代，就换上去了。

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加油吧少年，根据这个博客你也可以写出一个相对智能的五子棋程序，甚至更强的AI算法！

文章会随时改动，注意到博客里去看。一些网站会爬取本文章，但是可能会有出入。
https://www.cnblogs.com/asmurmur/